# 第 12741 題：實雙線性形式 [返回所在分頁 64](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/64/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261027-r04-real-bilinear-form-foundations/#q-20261014-advance-20261027-r04-real-bilinear-form-0016) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0024-12741 · q-20261014-advance-20261027-r04-real-bilinear-form-0016 ## 原題與已知條件 雙線性必須分別核第一槽與第二槽。操作=bilinear-matrix-evaluate；資料={"matrix":[[3,-2],[4,2]],"x":[-2,-2],"y":[-1,-3]}。請依 [matrix,x,y,value] 欄序回答。 - G001 — 雙線性必須分別核第一槽與第二槽。操作=bilinear-matrix-evaluate；資料={"matrix":[[3,-2],[4,2]],"x":[-2,-2],"y":[-1,-3]}。請依 [matrix,x,y,value] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-bilinear-form](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-bilinear-form/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 fixed real matrix=[[3, -2], [4, 2]];B(x,y)=sum_i sum_j x_i*A_ij*y_j 操作後 distributivity proves real linearity in each slot separately for all vectors and scalars 條件：無 有限雙重和中實數分配律可把任意第一槽或第二槽線性組合展開，得到各自的全稱線性證書；整數實例只是此固定公式的求值，不是黑盒抽樣證明。 步驟識別與依賴規則：matrix_formula_bilinearity_universal_not_samples · 依賴：G001 S002 · implies操作前 requested form:matrix=[[3, -2], [4, 2]];first slot=[-2, -2];second slot=[-1, -3] 操作後 B(first,second)=first^T*(matrix*second);slot order fixed 條件：無 先算A乘第二槽，再與第一槽內積；一般A不對稱，不可交換兩槽。 步驟識別與依賴規則：bilinear_ordered_matrix_slots · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 requested form matrix row0 column0 term := mul(3, -1) 操作後 requested form matrix row0 column0 term = -3 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 requested form matrix row0 column1 term := mul(-2, -3) 操作後 requested form matrix row0 column1 term = 6 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 requested form matrix-times-second row0 := sum(-3, 6) 操作後 requested form matrix-times-second row0 = 3 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 requested form matrix row1 column0 term := mul(4, -1) 操作後 requested form matrix row1 column0 term = -4 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 requested form matrix row1 column1 term := mul(2, -3) 操作後 requested form matrix row1 column1 term = -6 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 requested form matrix-times-second row1 := sum(-4, -6) 操作後 requested form matrix-times-second row1 = -10 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 requested form first-slot coordinate0 term := mul(-2, 3) 操作後 requested form first-slot coordinate0 term = -6 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 requested form first-slot coordinate1 term := mul(-2, -10) 操作後 requested form first-slot coordinate1 term = 20 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 requested form final first-slot dot sum := sum(-6, 20) 操作後 requested form final first-slot dot sum = 14 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested form final first-slot dot sum，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested form first-slot coordinate1 term，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested form first-slot coordinate0 term，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested form matrix-times-second row1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested form matrix row1 column1 term，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested form matrix row1 column0 term，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested form matrix-times-second row0，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested form matrix row0 column1 term，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested form matrix row0 column0 term，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[3, -2], [4, 2]], [-2, -2], [-1, -3], 14) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ce79ce8b4f6656599b767f96024c5542ef73e1fd868f98e1dc18a422f587923a - candidate record SHA-256: b4bce968d302242f438813fd991e6870a36579dac4c7dbb06307e7c25f2eb0c9 - semantic review receipt SHA-256: 1c8f6c2c6c75852cb93c08235684ce9f32ebe86065c58c693a04257e772c2d35 - question-first witness SHA-256: 05fd764b5f9f7fff6185003efe576d87632f6daf40606ac3839a7feafe4f80d8 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261027-r04-real-bilinear-form-0016.json)