# 第 12713 題：實雙線性形式 [返回所在分頁 64](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/64/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261027-r04-real-bilinear-form-foundations/#q-20261014-advance-20261027-r04-real-bilinear-form-0038) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0024-12713 · q-20261014-advance-20261027-r04-real-bilinear-form-0038 ## 原題與已知條件 雙線性必須分別核第一槽與第二槽。操作=bilinear-first-slot-identity；資料={"matrix":[[0,2],[0,-1]],"u":[1,0],"v":[2,1],"alpha":0,"beta":2,"y":[-4,0]}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal] 欄序回答。 - G001 — 雙線性必須分別核第一槽與第二槽。操作=bilinear-first-slot-identity；資料={"matrix":[[0,2],[0,-1]],"u":[1,0],"v":[2,1],"alpha":0,"beta":2,"y":[-4,0]}。請依 [alpha,beta,combined,lhs,rhs,equal] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-bilinear-form](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-bilinear-form/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 fixed real matrix=[[0, 2], [0, -1]];B(x,y)=sum_i sum_j x_i*A_ij*y_j 操作後 distributivity proves real linearity in each slot separately for all vectors and scalars 條件：無 有限雙重和中實數分配律可把任意第一槽或第二槽線性組合展開，得到各自的全稱線性證書；整數實例只是此固定公式的求值，不是黑盒抽樣證明。 步驟識別與依賴規則：matrix_formula_bilinearity_universal_not_samples · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 combined coordinate0 alpha term := mul(0, 1) 操作後 combined coordinate0 alpha term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 combined coordinate0 beta term := mul(2, 2) 操作後 combined coordinate0 beta term = 4 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 combined coordinate0 sum := sum(0, 4) 操作後 combined coordinate0 sum = 4 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 combined coordinate1 alpha term := mul(0, 0) 操作後 combined coordinate1 alpha term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 combined coordinate1 beta term := mul(2, 1) 操作後 combined coordinate1 beta term = 2 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 combined coordinate1 sum := sum(0, 2) 操作後 combined coordinate1 sum = 2 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 expanding first slot;alpha=0;beta=2;u=[1, 0];v=[2, 1];fixed other input=[-4, 0] 操作後 combined=[4, 2];other slot held fixed 條件：無 只在指定槽代入alpha*u+beta*v，另一槽固定；這不是利用對稱性把兩槽互換。 步驟識別與依賴規則：bilinear_selected_slot_not_symmetry · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 combination lhs:matrix=[[0, 2], [0, -1]];first slot=[4, 2];second slot=[-4, 0] 操作後 B(first,second)=first^T*(matrix*second);slot order fixed 條件：無 先算A乘第二槽，再與第一槽內積；一般A不對稱，不可交換兩槽。 步驟識別與依賴規則：bilinear_ordered_matrix_slots · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 combination lhs matrix row0 column0 term := mul(0, -4) 操作後 combination lhs matrix row0 column0 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 combination lhs matrix row0 column1 term := mul(2, 0) 操作後 combination lhs matrix row0 column1 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 combination lhs matrix-times-second row0 := sum(0, 0) 操作後 combination lhs matrix-times-second row0 = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 combination lhs matrix row1 column0 term := mul(0, -4) 操作後 combination lhs matrix row1 column0 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 combination lhs matrix row1 column1 term := mul(-1, 0) 操作後 combination lhs matrix row1 column1 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 combination lhs matrix-times-second row1 := sum(0, 0) 操作後 combination lhs matrix-times-second row1 = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 combination lhs first-slot coordinate0 term := mul(4, 0) 操作後 combination lhs first-slot coordinate0 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 combination lhs first-slot coordinate1 term := mul(2, 0) 操作後 combination lhs first-slot coordinate1 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 combination lhs final first-slot dot sum := sum(0, 0) 操作後 combination lhs final first-slot dot sum = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 u form:matrix=[[0, 2], [0, -1]];first slot=[1, 0];second slot=[-4, 0] 操作後 B(first,second)=first^T*(matrix*second);slot order fixed 條件：無 先算A乘第二槽，再與第一槽內積；一般A不對稱，不可交換兩槽。 步驟識別與依賴規則：bilinear_ordered_matrix_slots · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 u form matrix row0 column0 term := mul(0, -4) 操作後 u form matrix row0 column0 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 u form matrix row0 column1 term := mul(2, 0) 操作後 u form matrix row0 column1 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 u form matrix-times-second row0 := sum(0, 0) 操作後 u form matrix-times-second row0 = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 u form matrix row1 column0 term := mul(0, -4) 操作後 u form matrix row1 column0 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 u form matrix row1 column1 term := mul(-1, 0) 操作後 u form matrix row1 column1 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 u form matrix-times-second row1 := sum(0, 0) 操作後 u form matrix-times-second row1 = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 u form first-slot coordinate0 term := mul(1, 0) 操作後 u form first-slot coordinate0 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 u form first-slot coordinate1 term := mul(0, 0) 操作後 u form first-slot coordinate1 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 u form final first-slot dot sum := sum(0, 0) 操作後 u form final first-slot dot sum = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 v form:matrix=[[0, 2], [0, -1]];first slot=[2, 1];second slot=[-4, 0] 操作後 B(first,second)=first^T*(matrix*second);slot order fixed 條件：無 先算A乘第二槽，再與第一槽內積；一般A不對稱，不可交換兩槽。 步驟識別與依賴規則：bilinear_ordered_matrix_slots · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 v form matrix row0 column0 term := mul(0, -4) 操作後 v form matrix row0 column0 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 v form matrix row0 column1 term := mul(2, 0) 操作後 v form matrix row0 column1 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 v form matrix-times-second row0 := sum(0, 0) 操作後 v form matrix-times-second row0 = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 v form matrix row1 column0 term := mul(0, -4) 操作後 v form matrix row1 column0 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 v form matrix row1 column1 term := mul(-1, 0) 操作後 v form matrix row1 column1 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 v form matrix-times-second row1 := sum(0, 0) 操作後 v form matrix-times-second row1 = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 v form first-slot coordinate0 term := mul(2, 0) 操作後 v form first-slot coordinate0 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 v form first-slot coordinate1 term := mul(1, 0) 操作後 v form first-slot coordinate1 term = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 v form final first-slot dot sum := sum(0, 0) 操作後 v form final first-slot dot sum = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 rhs alpha form value := mul(0, 0) 操作後 rhs alpha form value = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 rhs beta form value := mul(2, 0) 操作後 rhs beta form value = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 combination rhs sum := sum(0, 0) 操作後 combination rhs sum = 0 條件：無 依原題角色與完整已知操作數精確計算；不改配對、次序或以近似代替條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 fixed matrix formula;first slot expanded;lhs=0;rhs=0 操作後 equal=是;universal justification is matrix distributivity,not one passing sample 條件：無 本題數值兩側一致回核代值；對所有實數端點與純量的結論來自前述矩陣分配律，不由這一次相等推廣。 步驟識別與依賴規則：bilinear_slot_identity_and_formula_certificate · 依賴：G001, S041 ## 逐步反向核對 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination rhs sum，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rhs beta form value，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rhs alpha form value，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v form final first-slot dot sum，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v form first-slot coordinate1 term，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v form first-slot coordinate0 term，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v form matrix-times-second row1，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v form matrix row1 column1 term，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v form matrix row1 column0 term，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v form matrix-times-second row0，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v form matrix row0 column1 term，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v form matrix row0 column0 term，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u form final first-slot dot sum，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u form first-slot coordinate1 term，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u form first-slot coordinate0 term，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u form matrix-times-second row1，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u form matrix row1 column1 term，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u form matrix row1 column0 term，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u form matrix-times-second row0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u form matrix row0 column1 term，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u form matrix row0 column0 term，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination lhs final first-slot dot sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination lhs first-slot coordinate1 term，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination lhs first-slot coordinate0 term，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination lhs matrix-times-second row1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination lhs matrix row1 column1 term，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination lhs matrix row1 column0 term，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination lhs matrix-times-second row0，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination lhs matrix row0 column1 term，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combination lhs matrix row0 column0 term，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined coordinate1 sum，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined coordinate1 beta term，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined coordinate1 alpha term，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined coordinate0 sum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined coordinate0 beta term，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 combined coordinate0 alpha term，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (0, 2, [4, 2], 0, 0, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7cf3410a2ac77841545e942dc67e2b96e7cf4aa642da74b2e3bd516a088ff18e - candidate record SHA-256: 9050513ab865b4b3eb94095386fe1cc3b3b75030cfa641c441ad202dbdde8c91 - semantic review receipt SHA-256: 1c8f6c2c6c75852cb93c08235684ce9f32ebe86065c58c693a04257e772c2d35 - question-first witness SHA-256: 05fd764b5f9f7fff6185003efe576d87632f6daf40606ac3839a7feafe4f80d8 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261027-r04-real-bilinear-form-0038.json)