# 第 13100 題：實線性映射 [返回所在分頁 66](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/66/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261027-r05-general-linear-map-foundations/#q-20261014-advance-20261027-r05-general-linear-map-0025) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0025-13100 · q-20261014-advance-20261027-r05-general-linear-map-0025 ## 原題與已知條件 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-matrix-evaluate；資料={"matrix":[[12,0,1],[2,-12,-3]],"vector":[2,2,0]}。請依 [matrix,vector,image] 欄序回答。 - G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-matrix-evaluate；資料={"matrix":[[12,0,1],[2,-12,-3]],"vector":[2,2,0]}。請依 [matrix,vector,image] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-general-linear-map](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-general-linear-map/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 requested matrix image:matrix=[[12, 0, 1], [2, -12, -3]];input=[2, 2, 0] 操作後 R^3->R^2;each output is its original row dot input 條件：無 輸入維度等於欄數，輸出維度等於列數，矩陣可長方形；不交換行列或補不存在的座標。 步驟識別與依賴規則：rectangular_linear_map_source_target_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 requested matrix image row0 column0 term := mul(12, 2) 操作後 requested matrix image row0 column0 term = 24 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 requested matrix image row0 column1 term := mul(0, 2) 操作後 requested matrix image row0 column1 term = 0 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 requested matrix image row0 column2 term := mul(1, 0) 操作後 requested matrix image row0 column2 term = 0 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 requested matrix image row0 sum := sum(24, 0, 0) 操作後 requested matrix image row0 sum = 24 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 requested matrix image row1 column0 term := mul(2, 2) 操作後 requested matrix image row1 column0 term = 4 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 requested matrix image row1 column1 term := mul(-12, 2) 操作後 requested matrix image row1 column1 term = -24 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 requested matrix image row1 column2 term := mul(-3, 0) 操作後 requested matrix image row1 column2 term = 0 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 requested matrix image row1 sum := sum(4, -24, 0) 操作後 requested matrix image row1 sum = -20 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested matrix image row1 sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested matrix image row1 column2 term，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested matrix image row1 column1 term，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested matrix image row1 column0 term，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested matrix image row0 sum，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested matrix image row0 column2 term，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested matrix image row0 column1 term，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 requested matrix image row0 column0 term，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[12, 0, 1], [2, -12, -3]], [2, 2, 0], [24, -20]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1f429f717eb8ab13791068a47bc328cdcd7ff55ffcbe5a377486c127fd0137e1 - candidate record SHA-256: 5e79ecc2feb09c6300b37fa67f48048dc6a9b2f02dac2fd405bc7293edf54868 - semantic review receipt SHA-256: 0e51c2bf621e6e998415fdd75d260464e625cecd5894a230c9f09553249551c5 - question-first witness SHA-256: ceb79401a62782c9f7e5ed86afee9b1a71455f799bd24cf485cba7aa8ecaca8a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261027-r05-general-linear-map-0025.json)