# 第 13021 題：實線性映射 [返回所在分頁 66](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/66/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261027-r05-general-linear-map-foundations/#q-20261014-advance-20261027-r05-general-linear-map-0071) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0025-13021 · q-20261014-advance-20261027-r05-general-linear-map-0071 ## 原題與已知條件 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-additivity-witness；資料={"matrix":[[8,3,0],[-2,-8,3]],"bias":[0,0],"u":[1,-2,3],"v":[4,1,-2]}。請依 [u,v,bias,T_u_plus_v,T_u_plus_T_v,difference,additive] 欄序回答。 - G001 — 來源與目標皆為明示實向量空間。操作=linearmap-additivity-witness；資料={"matrix":[[8,3,0],[-2,-8,3]],"bias":[0,0],"u":[1,-2,3],"v":[4,1,-2]}。請依 [u,v,bias,T_u_plus_v,T_u_plus_T_v,difference,additive] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-general-linear-map](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-general-linear-map/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 u plus v coordinate0 first scaled := mul(1, 1) 操作後 u plus v coordinate0 first scaled = 1 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 u plus v coordinate0 second scaled := mul(1, 4) 操作後 u plus v coordinate0 second scaled = 4 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 u plus v coordinate0 sum := sum(1, 4) 操作後 u plus v coordinate0 sum = 5 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 u plus v coordinate1 first scaled := mul(1, -2) 操作後 u plus v coordinate1 first scaled = -2 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 u plus v coordinate1 second scaled := mul(1, 1) 操作後 u plus v coordinate1 second scaled = 1 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 u plus v coordinate1 sum := sum(-2, 1) 操作後 u plus v coordinate1 sum = -1 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 u plus v coordinate2 first scaled := mul(1, 3) 操作後 u plus v coordinate2 first scaled = 3 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 u plus v coordinate2 second scaled := mul(1, -2) 操作後 u plus v coordinate2 second scaled = -2 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 u plus v coordinate2 sum := sum(3, -2) 操作後 u plus v coordinate2 sum = 1 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 matrix of u plus v:matrix=[[8, 3, 0], [-2, -8, 3]];input=[5, -1, 1] 操作後 R^3->R^2;each output is its original row dot input 條件：無 輸入維度等於欄數，輸出維度等於列數，矩陣可長方形；不交換行列或補不存在的座標。 步驟識別與依賴規則：rectangular_linear_map_source_target_roles · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 matrix of u plus v row0 column0 term := mul(8, 5) 操作後 matrix of u plus v row0 column0 term = 40 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 matrix of u plus v row0 column1 term := mul(3, -1) 操作後 matrix of u plus v row0 column1 term = -3 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 matrix of u plus v row0 column2 term := mul(0, 1) 操作後 matrix of u plus v row0 column2 term = 0 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 matrix of u plus v row0 sum := sum(40, -3, 0) 操作後 matrix of u plus v row0 sum = 37 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 matrix of u plus v row1 column0 term := mul(-2, 5) 操作後 matrix of u plus v row1 column0 term = -10 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 matrix of u plus v row1 column1 term := mul(-8, -1) 操作後 matrix of u plus v row1 column1 term = 8 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 matrix of u plus v row1 column2 term := mul(3, 1) 操作後 matrix of u plus v row1 column2 term = 3 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 matrix of u plus v row1 sum := sum(-10, 8, 3) 操作後 matrix of u plus v row1 sum = 1 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 matrix of u:matrix=[[8, 3, 0], [-2, -8, 3]];input=[1, -2, 3] 操作後 R^3->R^2;each output is its original row dot input 條件：無 輸入維度等於欄數，輸出維度等於列數，矩陣可長方形；不交換行列或補不存在的座標。 步驟識別與依賴規則：rectangular_linear_map_source_target_roles · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 matrix of u row0 column0 term := mul(8, 1) 操作後 matrix of u row0 column0 term = 8 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 matrix of u row0 column1 term := mul(3, -2) 操作後 matrix of u row0 column1 term = -6 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 matrix of u row0 column2 term := mul(0, 3) 操作後 matrix of u row0 column2 term = 0 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 matrix of u row0 sum := sum(8, -6, 0) 操作後 matrix of u row0 sum = 2 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 matrix of u row1 column0 term := mul(-2, 1) 操作後 matrix of u row1 column0 term = -2 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 matrix of u row1 column1 term := mul(-8, -2) 操作後 matrix of u row1 column1 term = 16 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 matrix of u row1 column2 term := mul(3, 3) 操作後 matrix of u row1 column2 term = 9 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 matrix of u row1 sum := sum(-2, 16, 9) 操作後 matrix of u row1 sum = 23 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 matrix of v:matrix=[[8, 3, 0], [-2, -8, 3]];input=[4, 1, -2] 操作後 R^3->R^2;each output is its original row dot input 條件：無 輸入維度等於欄數，輸出維度等於列數，矩陣可長方形；不交換行列或補不存在的座標。 步驟識別與依賴規則：rectangular_linear_map_source_target_roles · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 matrix of v row0 column0 term := mul(8, 4) 操作後 matrix of v row0 column0 term = 32 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 matrix of v row0 column1 term := mul(3, 1) 操作後 matrix of v row0 column1 term = 3 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 matrix of v row0 column2 term := mul(0, -2) 操作後 matrix of v row0 column2 term = 0 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 matrix of v row0 sum := sum(32, 3, 0) 操作後 matrix of v row0 sum = 35 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 matrix of v row1 column0 term := mul(-2, 4) 操作後 matrix of v row1 column0 term = -8 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 matrix of v row1 column1 term := mul(-8, 1) 操作後 matrix of v row1 column1 term = -8 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 matrix of v row1 column2 term := mul(3, -2) 操作後 matrix of v row1 column2 term = -6 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 matrix of v row1 sum := sum(-8, -8, -6) 操作後 matrix of v row1 sum = -22 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 affine lhs coordinate0 := sum(37, 0) 操作後 affine lhs coordinate0 = 37 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 T u coordinate0 := sum(2, 0) 操作後 T u coordinate0 = 2 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 T v coordinate0 := sum(35, 0) 操作後 T v coordinate0 = 35 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 affine rhs coordinate0 := sum(2, 35) 操作後 affine rhs coordinate0 = 37 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 additivity signed residual0 := sub(37, 37) 操作後 additivity signed residual0 = 0 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 affine lhs coordinate1 := sum(1, 0) 操作後 affine lhs coordinate1 = 1 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 T u coordinate1 := sum(23, 0) 操作後 T u coordinate1 = 23 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 T v coordinate1 := sum(-22, 0) 操作後 T v coordinate1 = -22 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 affine rhs coordinate1 := sum(23, -22) 操作後 affine rhs coordinate1 = 1 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 additivity signed residual1 := sub(1, 1) 操作後 additivity signed residual1 = 0 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 bias=[0, 0];T(u+v)=[37, 1];T(u)+T(v)=[37, 1] 操作後 lhs-rhs=[0, 0]=-bias;this instance additive=是 條件：無 左側只有一次平移，右側兩次，矩陣線性部分相消後差是負bias，不把符號丟掉；這是本題仿射公式的精確見證，不是任意黑盒的樣本證明。 步驟識別與依賴規則：affine_one_bias_versus_two_biases · 依賴：G001, S046 ## 逐步反向核對 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 additivity signed residual1，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine rhs coordinate1，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T v coordinate1，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T u coordinate1，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine lhs coordinate1，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 additivity signed residual0，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine rhs coordinate0，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T v coordinate0，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 T u coordinate0，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 affine lhs coordinate0，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 sum，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column2 term，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column1 term，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row1 column0 term，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 sum，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column2 term，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column1 term，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of v row0 column0 term，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 sum，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column2 term，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column1 term，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row1 column0 term，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 sum，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column2 term，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column1 term，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u row0 column0 term，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column2 term，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column1 term，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row1 column0 term，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 sum，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column2 term，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column1 term，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 matrix of u plus v row0 column0 term，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 second scaled，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate2 first scaled，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 second scaled，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate1 first scaled，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 sum，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 second scaled，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u plus v coordinate0 first scaled，不以小數近似替代。 ## 結論 ([1, -2, 3], [4, 1, -2], [0, 0], [37, 1], [37, 1], [0, 0], 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8fdb0eac1e312d6f0cd84749489e87877da38bb5a63e8ab64c96066b32ea4c85 - candidate record SHA-256: 9e8bcb67cd7473fe9eee2de9aaad00cb55fe3df713de130f5f5805fae303b168 - semantic review receipt SHA-256: 0e51c2bf621e6e998415fdd75d260464e625cecd5894a230c9f09553249551c5 - question-first witness SHA-256: ceb79401a62782c9f7e5ed86afee9b1a71455f799bd24cf485cba7aa8ecaca8a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261027-r05-general-linear-map-0071.json)