# 第 13741 題：有限雙邊理想 [返回所在分頁 69](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/69/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r02-finite-two-sided-ideal-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r02-finite-two-sided-ideal-0016) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13741 · q-20261014-advance-20261028-r02-finite-two-sided-ideal-0016 ## 原題與已知條件 子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-qualification；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,6,0,7,5,4],[2,3,6,5,1,4,7,0],[3,6,5,7,2,0,4,1],[4,0,1,2,7,6,3,5],[5,7,4,0,6,2,1,3],[6,5,7,4,3,1,0,2],[7,4,0,1,5,3,2,6]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,6,7,7,2,0,6],[0,3,7,1,5,4,6,2],[0,4,7,5,1,3,6,2],[0,5,2,4,3,1,6,7],[0,6,0,6,6,6,0,0],[0,7,6,2,2,7,0,6]],"subset":[0,1,2,6,7]}。請依 [subset,zero,additive_subgroup,missing_left,missing_right,two_sided_ideal] 欄序回答。 - G001 — 子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-qualification；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,6,0,7,5,4],[2,3,6,5,1,4,7,0],[3,6,5,7,2,0,4,1],[4,0,1,2,7,6,3,5],[5,7,4,0,6,2,1,3],[6,5,7,4,3,1,0,2],[7,4,0,1,5,3,2,6]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,6,7,7,2,0,6],[0,3,7,1,5,4,6,2],[0,4,7,5,1,3,6,2],[0,5,2,4,3,1,6,7],[0,6,0,6,6,6,0,0],[0,7,6,2,2,7,0,6]],"subset":[0,1,2,6,7]}。請依 [subset,zero,additive_subgroup,missing_left,missing_right,two_sided_ideal] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-two-sided-ideal](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-two-sided-ideal/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 same parent carrier Fin(8);addition=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 6, 0, 7, 5, 4], [2, 3, 6, 5, 1, 4, 7, 0], [3, 6, 5, 7, 2, 0, 4, 1], [4, 0, 1, 2, 7, 6, 3, 5], [5, 7, 4, 0, 6, 2, 1, 3], [6, 5, 7, 4, 3, 1, 0, 2], [7, 4, 0, 1, 5, 3, 2, 6]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 2, 6, 7, 7, 2, 0, 6], [0, 3, 7, 1, 5, 4, 6, 2], [0, 4, 7, 5, 1, 3, 6, 2], [0, 5, 2, 4, 3, 1, 6, 7], [0, 6, 0, 6, 6, 6, 0, 0], [0, 7, 6, 2, 2, 7, 0, 6]] 操作後 both complete operation tables typed and closed 條件：無 以下理想或交換律綁定同一父環；此處保留完整原表，不把元素標籤當成整數值。 步驟識別與依賴規則：parent_ring_original_complete_tables · 依賴：G001 S002 · implies操作前 every additive triple checked;first associativity failure=null;all additive pairs commute=是 操作後 additive zero candidates=[0];actual zero=0;two-sided additive inverses in label order=[0, 4, 7, 5, 1, 3, 6, 2] 條件：無 逐完整載體核加法結合、交換、兩側零與每個逆元；父環是題目使用的已合格前提，核查完整有限條件，不靠幾個樣本。 步驟識別與依賴規則：parent_additive_abelian_group_complete_audit · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 every multiplicative triple checked;first associativity failure=null 操作後 multiplicative identity candidates=[1];actual one=1 條件：無 乘法只先要求結合與兩側one，不在此假設交換或非零元素可逆。 步驟識別與依賴規則：parent_multiplicative_monoid_complete_audit · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 all 512 left and 512 right distributivity triples checked 操作後 first left failure=null;first right failure=null;zero=0;one=1;distinct=是 條件：無 左右分配責任分開完整核對，0與1必是不同實際元素；不因含一就宣稱交換環、整環或域。 步驟識別與依賴規則：parent_both_distributivities_and_distinct_identities · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 raw subset=[0, 1, 2, 6, 7];same qualified parent zero=0 操作後 sorted distinct parent labels=[0, 1, 2, 6, 7] 條件：無 此子集按集合去重排序，但所有運算與逆元都來自同一父環，不另換加乘或把標籤當整數。 步驟識別與依賴規則：ideal_subset_same_parent_normalization · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 subset element=0;parent additive inverse=0 操作後 inverse belongs to subset=是 條件：無 加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。 步驟識別與依賴規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 subset ordered pair=[0, 0];parent sum=0 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 subset ordered pair=[0, 1];parent sum=1 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 subset ordered pair=[0, 2];parent sum=2 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 subset ordered pair=[0, 6];parent sum=6 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 subset ordered pair=[0, 7];parent sum=7 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 subset element=1;parent additive inverse=4 操作後 inverse belongs to subset=否 條件：無 加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。 步驟識別與依賴規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 subset ordered pair=[1, 0];parent sum=1 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 subset ordered pair=[1, 1];parent sum=2 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 subset ordered pair=[1, 2];parent sum=3 操作後 sum belongs to subset=否 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 subset ordered pair=[1, 6];parent sum=5 操作後 sum belongs to subset=否 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 subset ordered pair=[1, 7];parent sum=4 操作後 sum belongs to subset=否 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 subset element=2;parent additive inverse=7 操作後 inverse belongs to subset=是 條件：無 加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。 步驟識別與依賴規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 subset ordered pair=[2, 0];parent sum=2 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 subset ordered pair=[2, 1];parent sum=3 操作後 sum belongs to subset=否 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 subset ordered pair=[2, 2];parent sum=6 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 subset ordered pair=[2, 6];parent sum=7 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 subset ordered pair=[2, 7];parent sum=0 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 subset element=6;parent additive inverse=6 操作後 inverse belongs to subset=是 條件：無 加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。 步驟識別與依賴規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 subset ordered pair=[6, 0];parent sum=6 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 subset ordered pair=[6, 1];parent sum=5 操作後 sum belongs to subset=否 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 subset ordered pair=[6, 2];parent sum=7 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 subset ordered pair=[6, 6];parent sum=0 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 subset ordered pair=[6, 7];parent sum=2 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 subset element=7;parent additive inverse=2 操作後 inverse belongs to subset=是 條件：無 加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。 步驟識別與依賴規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 subset ordered pair=[7, 0];parent sum=7 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 subset ordered pair=[7, 1];parent sum=4 操作後 sum belongs to subset=否 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 subset ordered pair=[7, 2];parent sum=0 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 subset ordered pair=[7, 6];parent sum=2 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 subset ordered pair=[7, 7];parent sum=6 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 subset nonempty=是;actual zero belongs=是;missing sums=[[1, 2, 3], [1, 6, 5], [1, 7, 4], [2, 1, 3], [6, 1, 5], [7, 1, 4]];missing inverses=[[1, 4]] 操作後 additive subgroup=否 條件：無 非空、含實際零、加法閉包與逆元閉包同時成立才合格；空集合不能因閉包空泛成立而成加法子群。 步驟識別與依賴規則：ideal_additive_subgroup_nonempty_zero_and_closure · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 parent r=0;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 parent r=0;subset x=1;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 parent r=0;subset x=2;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 parent r=0;subset x=6;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 parent r=0;subset x=7;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 parent r=1;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 parent r=1;subset x=1;left product r*x=1;right product x*r=1 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 parent r=1;subset x=2;left product r*x=2;right product x*r=2 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 parent r=1;subset x=6;left product r*x=6;right product x*r=6 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 parent r=1;subset x=7;left product r*x=7;right product x*r=7 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 parent r=2;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 parent r=2;subset x=1;left product r*x=2;right product x*r=2 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 parent r=2;subset x=2;left product r*x=6;right product x*r=6 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 parent r=2;subset x=6;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 parent r=2;subset x=7;left product r*x=6;right product x*r=6 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 parent r=3;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 parent r=3;subset x=1;left product r*x=3;right product x*r=3 操作後 left absorbed=否;right absorbed=否 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 parent r=3;subset x=2;left product r*x=7;right product x*r=7 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 parent r=3;subset x=6;left product r*x=6;right product x*r=6 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 parent r=3;subset x=7;left product r*x=2;right product x*r=2 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S055 S057 · implies操作前 parent r=4;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 parent r=4;subset x=1;left product r*x=4;right product x*r=4 操作後 left absorbed=否;right absorbed=否 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 parent r=4;subset x=2;left product r*x=7;right product x*r=7 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 parent r=4;subset x=6;left product r*x=6;right product x*r=6 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 parent r=4;subset x=7;left product r*x=2;right product x*r=2 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 parent r=5;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S061 S063 · implies操作前 parent r=5;subset x=1;left product r*x=5;right product x*r=5 操作後 left absorbed=否;right absorbed=否 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 parent r=5;subset x=2;left product r*x=2;right product x*r=2 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 parent r=5;subset x=6;left product r*x=6;right product x*r=6 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 parent r=5;subset x=7;left product r*x=7;right product x*r=7 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S065 S067 · implies操作前 parent r=6;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 parent r=6;subset x=1;left product r*x=6;right product x*r=6 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 parent r=6;subset x=2;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 parent r=6;subset x=6;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 parent r=6;subset x=7;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 parent r=7;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 parent r=7;subset x=1;left product r*x=7;right product x*r=7 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 parent r=7;subset x=2;left product r*x=6;right product x*r=6 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 parent r=7;subset x=6;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 parent r=7;subset x=7;left product r*x=6;right product x*r=6 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 missing left [r,x,rx]=[[3, 1, 3], [4, 1, 4], [5, 1, 5]];missing right [x,r,xr]=[[1, 3, 3], [1, 4, 4], [1, 5, 5]] 操作後 left absorbing=否;right absorbing=否;empty subset absorption is vacuous 條件：無 吸收性兩責任各自保留，空子集兩側可空泛通過，但沒有因此得到加法子群或理想。 步驟識別與依賴規則：ideal_absorption_not_additive_subgroup · 依賴：G001, S076 S078 · implies操作前 additive subgroup=否;left absorbing=否;right absorbing=否 操作後 two-sided ideal=否 條件：無 加法子群、左吸收、右吸收三條合取，不把子環或單側理想當雙側理想。 步驟識別與依賴規則：ideal_three_complete_obligations_conjunction · 依賴：G001, S077 ## 逐步反向核對 - S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([0, 1, 2, 6, 7], 0, 否, [[3, 1, 3], [4, 1, 4], [5, 1, 5]], [[1, 3, 3], [1, 4, 4], [1, 5, 5]], 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 6393d4ad26acac5bb9919988bc17db513c5cfbb952bd987aa6d7fd02c7dce5af - candidate record SHA-256: db7b3d64c7322f937fb960872a899ba320ab72aab123011d8bd144ad91a7ec0b - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 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