# 第 13761 題：有限雙邊理想 [返回所在分頁 69](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/69/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r02-finite-two-sided-ideal-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r02-finite-two-sided-ideal-0086) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13761 · q-20261014-advance-20261028-r02-finite-two-sided-ideal-0086 ## 原題與已知條件 子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-trivial-boundary；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,5,6,7,0,4],[2,3,5,7,0,4,1,6],[3,5,7,4,1,6,2,0],[4,6,0,1,5,2,7,3],[5,7,4,6,2,0,3,1],[6,0,1,2,7,3,4,5],[7,4,6,0,3,1,5,2]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,5,4,5,0,4,2],[0,3,4,1,2,5,7,6],[0,4,5,2,5,0,2,4],[0,5,0,5,0,0,5,5],[0,6,4,7,2,5,1,3],[0,7,2,6,4,5,3,1]],"subset":[0]}。請依 [subset,zero_ideal,whole_ring,qualified,boundary] 欄序回答。 - G001 — 子集綁定同一完整有限父環。操作=ideal-trivial-boundary；資料={"n":8,"addition":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,5,6,7,0,4],[2,3,5,7,0,4,1,6],[3,5,7,4,1,6,2,0],[4,6,0,1,5,2,7,3],[5,7,4,6,2,0,3,1],[6,0,1,2,7,3,4,5],[7,4,6,0,3,1,5,2]],"multiplication":[[0,0,0,0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4,5,6,7],[0,2,5,4,5,0,4,2],[0,3,4,1,2,5,7,6],[0,4,5,2,5,0,2,4],[0,5,0,5,0,0,5,5],[0,6,4,7,2,5,1,3],[0,7,2,6,4,5,3,1]],"subset":[0]}。請依 [subset,zero_ideal,whole_ring,qualified,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-two-sided-ideal](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-two-sided-ideal/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 same parent carrier Fin(8);addition=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 5, 6, 7, 0, 4], [2, 3, 5, 7, 0, 4, 1, 6], [3, 5, 7, 4, 1, 6, 2, 0], [4, 6, 0, 1, 5, 2, 7, 3], [5, 7, 4, 6, 2, 0, 3, 1], [6, 0, 1, 2, 7, 3, 4, 5], [7, 4, 6, 0, 3, 1, 5, 2]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 2, 5, 4, 5, 0, 4, 2], [0, 3, 4, 1, 2, 5, 7, 6], [0, 4, 5, 2, 5, 0, 2, 4], [0, 5, 0, 5, 0, 0, 5, 5], [0, 6, 4, 7, 2, 5, 1, 3], [0, 7, 2, 6, 4, 5, 3, 1]] 操作後 both complete operation tables typed and closed 條件：無 以下理想或交換律綁定同一父環；此處保留完整原表，不把元素標籤當成整數值。 步驟識別與依賴規則：parent_ring_original_complete_tables · 依賴：G001 S002 · implies操作前 every additive triple checked;first associativity failure=null;all additive pairs commute=是 操作後 additive zero candidates=[0];actual zero=0;two-sided additive inverses in label order=[0, 6, 4, 7, 2, 5, 1, 3] 條件：無 逐完整載體核加法結合、交換、兩側零與每個逆元；父環是題目使用的已合格前提，核查完整有限條件，不靠幾個樣本。 步驟識別與依賴規則：parent_additive_abelian_group_complete_audit · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 every multiplicative triple checked;first associativity failure=null 操作後 multiplicative identity candidates=[1];actual one=1 條件：無 乘法只先要求結合與兩側one，不在此假設交換或非零元素可逆。 步驟識別與依賴規則：parent_multiplicative_monoid_complete_audit · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 all 512 left and 512 right distributivity triples checked 操作後 first left failure=null;first right failure=null;zero=0;one=1;distinct=是 條件：無 左右分配責任分開完整核對，0與1必是不同實際元素；不因含一就宣稱交換環、整環或域。 步驟識別與依賴規則：parent_both_distributivities_and_distinct_identities · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 raw subset=[0];same qualified parent zero=0 操作後 sorted distinct parent labels=[0] 條件：無 此子集按集合去重排序，但所有運算與逆元都來自同一父環，不另換加乘或把標籤當整數。 步驟識別與依賴規則：ideal_subset_same_parent_normalization · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 subset element=0;parent additive inverse=0 操作後 inverse belongs to subset=是 條件：無 加法子群需每個成員的父環加法逆元仍在子集中；不是乘法逆元條件。 步驟識別與依賴規則：ideal_each_parent_additive_inverse · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 subset ordered pair=[0, 0];parent sum=0 操作後 sum belongs to subset=是 條件：無 逐一核所有有序加法對，沒有抽樣替代閉包。 步驟識別與依賴規則：ideal_all_additive_closure_pairs · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 subset nonempty=是;actual zero belongs=是;missing sums=[];missing inverses=[] 操作後 additive subgroup=是 條件：無 非空、含實際零、加法閉包與逆元閉包同時成立才合格；空集合不能因閉包空泛成立而成加法子群。 步驟識別與依賴規則：ideal_additive_subgroup_nonempty_zero_and_closure · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 parent r=0;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 parent r=1;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 parent r=2;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 parent r=3;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 parent r=4;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 parent r=5;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 parent r=6;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 parent r=7;subset x=0;left product r*x=0;right product x*r=0 操作後 left absorbed=是;right absorbed=是 條件：無 每個父環r與子集x都分左右測試；非交換父環可能只通過一側。失敗清單保留r外層、x內層的原協定次序。 步驟識別與依賴規則：ideal_both_absorptions_all_parent_elements · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 missing left [r,x,rx]=[];missing right [x,r,xr]=[] 操作後 left absorbing=是;right absorbing=是;empty subset absorption is vacuous 條件：無 吸收性兩責任各自保留，空子集兩側可空泛通過，但沒有因此得到加法子群或理想。 步驟識別與依賴規則：ideal_absorption_not_additive_subgroup · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 additive subgroup=是;left absorbing=是;right absorbing=是 操作後 two-sided ideal=是 條件：無 加法子群、左吸收、右吸收三條合取，不把子環或單側理想當雙側理想。 步驟識別與依賴規則：ideal_three_complete_obligations_conjunction · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 actual zero=0;subset=[0];full carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 操作後 zero ideal=是;whole ring=否;supplied subset qualified=是 條件：無 {0}指實際零的單點，不是空集合。r0=r(0+0)=r0+r0，消去得r0=0；右側同理，故零理想雙側吸收；全環由閉包即合格。仍另外核原子集，不假設它恰為兩者之一。 步驟識別與依賴規則：zero_and_whole_ideals_not_empty_subset · 依賴：G001, S018 ## 逐步反向核對 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([0], 是, 否, 是, zero_and_whole_are_always_two_sided_ideals) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: b428f72e9ac68f0141c421a1d42e34aefab0f56eed87f73628a6d3a53930c41c - candidate record SHA-256: 384f25476ed584f2564e1446bf86a911ff3f04b127d057f937d448215c1394cc - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r02-finite-two-sided-ideal-0086.json)