# 第 13431 題：實Banach空間 [返回所在分頁 68](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/68/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r03-real-banach-space-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r03-real-banach-space-0056) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0025-13431 · q-20261014-advance-20261028-r03-real-banach-space-0056 ## 原題與已知條件 載體norm誘導metric與完備證書必須描述同一空間。操作=banach-distance-evaluate；資料={"norm_name":"linfinity","left":[-7,2,-1],"right":[7,6,-1]}。請依 [norm_name,left,right,difference,distance,boundary] 欄序回答。 - G001 — 載體norm誘導metric與完備證書必須描述同一空間。操作=banach-distance-evaluate；資料={"norm_name":"linfinity","left":[-7,2,-1],"right":[7,6,-1]}。請依 [norm_name,left,right,difference,distance,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-banach-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-banach-space/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 Banach coordinate distance difference coordinate0 := sub(-7, 7) 操作後 Banach coordinate distance difference coordinate0 = -14 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Banach coordinate distance difference coordinate1 := sub(2, 6) 操作後 Banach coordinate distance difference coordinate1 = -4 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Banach coordinate distance difference coordinate2 := sub(-1, -1) 操作後 Banach coordinate distance difference coordinate2 = 0 條件：無 依原題角色及已核中間量精確運算；保留係數、座標、次序與正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 Banach coordinate distance:norm=linfinity;left=[-7, 2, -1];right=[7, 6, -1] 操作後 signed left-right=[-14, -4, 0];use same named norm 條件：無 在同一實座標空間以同一指定範數取差的範數；差可超過原輸入座標界，不能錯當非法新輸入而截斷。 步驟識別與依賴規則：norm_distance_same_space_and_direction · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 Banach coordinate distance:coordinate=0;signed value=-14 操作後 absolute value=14 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Banach coordinate distance:coordinate=1;signed value=-4 操作後 absolute value=4 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Banach coordinate distance:coordinate=2;signed value=0 操作後 absolute value=0 條件：無 先取完整座標絕對值，負座標的符號保留在原向量，不直接拿帶號最大值。 步驟識別與依賴規則：named_norm_coordinate_absolute_value · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Banach coordinate distance:all absolute coordinates=[14, 4, 0] 操作後 maximum=14;first attaining coordinate=0 條件：無 最大值需大於等於所有項且確由一項達到；非空有限座標保證這一點。 步驟識別與依賴規則：linfinity_full_maximum_witness · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 fixed carrier R^3;named norm=linfinity;distance=14 操作後 distance_evaluation_not_completeness_proof 條件：無 算出一個距離沒有量化每個Cauchy序列，不以這個數值另證完備性。 步驟識別與依賴規則：Banach_distance_evaluation_not_all_Cauchy_claim · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Banach coordinate distance difference coordinate2，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Banach coordinate distance difference coordinate1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Banach coordinate distance difference coordinate0，不以小數近似替代。 ## 結論 (linfinity, [-7, 2, -1], [7, 6, -1], [-14, -4, 0], 14, distance_evaluation_not_completeness_proof) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 2ce22c0a62fe95c68e7bedea9515a598dcf9f8fe61baaad937cf15e03971c3be - candidate record SHA-256: 0161fd832e0cc28c465ddcf2bb0c59e5b43977bf7af6e26bb02e44f18e875c73 - semantic review receipt SHA-256: 0e51c2bf621e6e998415fdd75d260464e625cecd5894a230c9f09553249551c5 - question-first witness SHA-256: ceb79401a62782c9f7e5ed86afee9b1a71455f799bd24cf485cba7aa8ecaca8a - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r03-real-banach-space-0056.json)