# 第 13811 題：實內積空間 [返回所在分頁 70](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/70/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0011) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13811 · q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0011 ## 原題與已知條件 內積須同時雙線性對稱且正定。操作=inner-evaluate；資料={"matrix":[[12,1],[1,2]],"x":[-2,0],"y":[5,2]}。請依 [matrix,x,y,value] 欄序回答。 - G001 — 內積須同時雙線性對稱且正定。操作=inner-evaluate；資料={"matrix":[[12,1],[1,2]],"x":[-2,0],"y":[5,2]}。請依 [matrix,x,y,value] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-inner-product-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-inner-product-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 candidate real R2 form;matrix=[[12, 1], [1, 2]];B(x,y)=x^T*A*y 操作後 matrix distributivity supplies bilinearity;other inner-product obligations remain separate 條件：無 矩陣公式本身雙線性，但不先假設對稱或正定；本協定只處理實數R²，不加複共軛或一般維度推論。 步驟識別與依賴規則：inner_candidate_bilinear_not_presumed_inner_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 candidate evaluation matrix second slot:matrix=[[12, 1], [1, 2]];input=[5, 2] 操作後 input dimension=2;output dimension=2;rows dot input 條件：無 保留長方形矩陣的欄輸入、列輸出角色，計算值可超過原輸入座標界，不重新截斷。 步驟識別與依賴規則：matrix_row_column_roles · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 candidate evaluation matrix second slot row0 column0 product := mul(12, 5) 操作後 candidate evaluation matrix second slot row0 column0 product = 60 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 candidate evaluation matrix second slot row0 column1 product := mul(1, 2) 操作後 candidate evaluation matrix second slot row0 column1 product = 2 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 candidate evaluation matrix second slot row0 sum := sum(60, 2) 操作後 candidate evaluation matrix second slot row0 sum = 62 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 candidate evaluation matrix second slot row1 column0 product := mul(1, 5) 操作後 candidate evaluation matrix second slot row1 column0 product = 5 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 candidate evaluation matrix second slot row1 column1 product := mul(2, 2) 操作後 candidate evaluation matrix second slot row1 column1 product = 4 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 candidate evaluation matrix second slot row1 sum := sum(5, 4) 操作後 candidate evaluation matrix second slot row1 sum = 9 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 candidate evaluation first coordinate0 product := mul(-2, 62) 操作後 candidate evaluation first coordinate0 product = -124 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 candidate evaluation first coordinate1 product := mul(0, 9) 操作後 candidate evaluation first coordinate1 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 candidate evaluation bilinear sum := sum(-124, 0) 操作後 candidate evaluation bilinear sum = -124 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate evaluation bilinear sum，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate evaluation first coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate evaluation first coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate evaluation matrix second slot row1 sum，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate evaluation matrix second slot row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate evaluation matrix second slot row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate evaluation matrix second slot row0 sum，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate evaluation matrix second slot row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate evaluation matrix second slot row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[12, 1], [1, 2]], [-2, 0], [5, 2], -124) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7cae3735b1e4a8e7cf020052dc84c47f0701eec61f238609c759ad23e1b18ec1 - candidate record SHA-256: 83158665f4601b4855f08834a0ee581fbbfba8550d203dd08d83fbfaa8cfaf10 - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0011.json)