# 第 13847 題：實內積空間 [返回所在分頁 70](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/70/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0072) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13847 · q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0072 ## 原題與已知條件 內積須同時雙線性對稱且正定。操作=inner-positive-definite；資料={"matrix":[[22,0],[0,0]]}。請依 [matrix,symmetric,leading_minor,determinant,positive_definite,certificate] 欄序回答。 - G001 — 內積須同時雙線性對稱且正定。操作=inner-positive-definite；資料={"matrix":[[22,0],[0,0]]}。請依 [matrix,symmetric,leading_minor,determinant,positive_definite,certificate] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-inner-product-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-inner-product-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 candidate real R2 form;matrix=[[22, 0], [0, 0]];B(x,y)=x^T*A*y 操作後 matrix distributivity supplies bilinearity;other inner-product obligations remain separate 條件：無 矩陣公式本身雙線性，但不先假設對稱或正定；本協定只處理實數R²，不加複共軛或一般維度推論。 步驟識別與依賴規則：inner_candidate_bilinear_not_presumed_inner_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 opposite off-diagonal entries=[0, 0] 操作後 symmetric=是 條件：無 以標準基向量可讀出兩側矩陣係數，因此對稱當且僅當兩個非對角係數一致；不能由一次B(x,y)=B(y,x)猜全稱對稱。 步驟識別與依賴規則：inner_symmetry_additional_to_bilinearity · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 inner determinant diagonal product := mul(22, 0) 操作後 inner determinant diagonal product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 inner determinant off-diagonal product := mul(0, 0) 操作後 inner determinant off-diagonal product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 inner signed determinant := sub(0, 0) 操作後 inner signed determinant = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 inner completed-square slope := div(0, 22) 操作後 inner completed-square slope = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 inner completed-square remainder := div(0, 22) 操作後 inner completed-square remainder = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 symmetric matrix=[[22, 0], [0, 0]];positive leading=22;b/a=0;det/a=0 操作後 q(s,t)=(22)*(s+(0)*t)^2+(0)*t^2 條件：無 在a>0才配方。若det>0，t非零時第二項正，t=0且s非零時第一項正；反向嚴格正定先由e1得a>0，再令s=−(b/a)t、t=1得det/a>0。 步驟識別與依賴規則：R2_Sylvester_completed_square_identity · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 nonpositive determinant witness matrix second slot:matrix=[[22, 0], [0, 0]];input=[0, 22] 操作後 input dimension=2;output dimension=2;rows dot input 條件：無 保留長方形矩陣的欄輸入、列輸出角色，計算值可超過原輸入座標界，不重新截斷。 步驟識別與依賴規則：matrix_row_column_roles · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 nonpositive determinant witness matrix second slot row0 column0 product := mul(22, 0) 操作後 nonpositive determinant witness matrix second slot row0 column0 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 nonpositive determinant witness matrix second slot row0 column1 product := mul(0, 22) 操作後 nonpositive determinant witness matrix second slot row0 column1 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 nonpositive determinant witness matrix second slot row0 sum := sum(0, 0) 操作後 nonpositive determinant witness matrix second slot row0 sum = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 nonpositive determinant witness matrix second slot row1 column0 product := mul(0, 0) 操作後 nonpositive determinant witness matrix second slot row1 column0 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 nonpositive determinant witness matrix second slot row1 column1 product := mul(0, 22) 操作後 nonpositive determinant witness matrix second slot row1 column1 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 nonpositive determinant witness matrix second slot row1 sum := sum(0, 0) 操作後 nonpositive determinant witness matrix second slot row1 sum = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 nonpositive determinant witness first coordinate0 product := mul(0, 0) 操作後 nonpositive determinant witness first coordinate0 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 nonpositive determinant witness first coordinate1 product := mul(22, 0) 操作後 nonpositive determinant witness first coordinate1 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 nonpositive determinant witness bilinear sum := sum(0, 0) 操作後 nonpositive determinant witness bilinear sum = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 nonzero witness=[0, 22];q(witness)=0=leading*determinant 操作後 strict positivity fails;zero determinant is not strict positive definiteness 條件：無 a>0保證此向量非零；det≤0使其二次值≤0，包含半正定的零值失敗，不能只用幾個正樣本補救。 步驟識別與依賴規則：nonpositive_determinant_actual_countervector · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 symmetric=是;leading=22;determinant=0 操作後 strict symmetric R2 certificate=否 條件：無 最後旗標合取對稱、首主子式>0與行列式>0；這是此R²對稱內積協定，不額外宣稱完備。 步驟識別與依賴規則：strict_Sylvester_conditions_conjunction · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 nonpositive determinant witness bilinear sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 nonpositive determinant witness first coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 nonpositive determinant witness first coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 nonpositive determinant witness matrix second slot row1 sum，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 nonpositive determinant witness matrix second slot row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 nonpositive determinant witness matrix second slot row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 nonpositive determinant witness matrix second slot row0 sum，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 nonpositive determinant witness matrix second slot row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 nonpositive determinant witness matrix second slot row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner completed-square remainder，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner completed-square slope，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner signed determinant，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner determinant off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner determinant diagonal product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[22, 0], [0, 0]], 是, 22, 0, 否, Sylvester_R2_universal_certificate) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: cb8c16d05d0cbda560ec528bc81c9bb793967baba100419d712853ef94467b2e - candidate record SHA-256: 55ee89cb27dd0671fc6f6dcf2b9c1228786e10dc190fc3fb7e8db0f3a28a7973 - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0072.json)