# 第 13857 題：實內積空間 [返回所在分頁 70](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/70/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0082) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13857 · q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0082 ## 原題與已知條件 內積須同時雙線性對稱且正定。操作=inner-qualification；資料={"matrix":[[8,1],[1,2]]}。請依 [matrix,bilinear,symmetric,positive_definite,inner_product,classification] 欄序回答。 - G001 — 內積須同時雙線性對稱且正定。操作=inner-qualification；資料={"matrix":[[8,1],[1,2]]}。請依 [matrix,bilinear,symmetric,positive_definite,inner_product,classification] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-inner-product-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-inner-product-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 candidate real R2 form;matrix=[[8, 1], [1, 2]];B(x,y)=x^T*A*y 操作後 matrix distributivity supplies bilinearity;other inner-product obligations remain separate 條件：無 矩陣公式本身雙線性，但不先假設對稱或正定；本協定只處理實數R²，不加複共軛或一般維度推論。 步驟識別與依賴規則：inner_candidate_bilinear_not_presumed_inner_product · 依賴：G001 S002 · implies操作前 opposite off-diagonal entries=[1, 1] 操作後 symmetric=是 條件：無 以標準基向量可讀出兩側矩陣係數，因此對稱當且僅當兩個非對角係數一致；不能由一次B(x,y)=B(y,x)猜全稱對稱。 步驟識別與依賴規則：inner_symmetry_additional_to_bilinearity · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 inner determinant diagonal product := mul(8, 2) 操作後 inner determinant diagonal product = 16 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 inner determinant off-diagonal product := mul(1, 1) 操作後 inner determinant off-diagonal product = 1 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 inner signed determinant := sub(16, 1) 操作後 inner signed determinant = 15 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 inner completed-square slope := div(1, 8) 操作後 inner completed-square slope = 1/8 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 inner completed-square remainder := div(15, 8) 操作後 inner completed-square remainder = 15/8 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 symmetric matrix=[[8, 1], [1, 2]];positive leading=8;b/a=1/8;det/a=15/8 操作後 q(s,t)=(8)*(s+(1/8)*t)^2+(15/8)*t^2 條件：無 在a>0才配方。若det>0，t非零時第二項正，t=0且s非零時第一項正；反向嚴格正定先由e1得a>0，再令s=−(b/a)t、t=1得det/a>0。 步驟識別與依賴規則：R2_Sylvester_completed_square_identity · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 symmetric=是;leading=8;determinant=15 操作後 strict symmetric R2 certificate=是 條件：無 最後旗標合取對稱、首主子式>0與行列式>0；這是此R²對稱內積協定，不額外宣稱完備。 步驟識別與依賴規則：strict_Sylvester_conditions_conjunction · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner completed-square remainder，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner completed-square slope，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner signed determinant，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner determinant off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner determinant diagonal product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[8, 1], [1, 2]], 是, 是, 是, 是, real_inner_product) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 63bb5643fd5811b66e333d1b97cb7282e25caf9d66405828eb86ea6ac33b8e4d - candidate record SHA-256: b82bc82c86e718fa2232059bf8ccb9c7ee277fcef9caf14c901368404c0bdc70 - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r04-real-inner-product-space-0082.json)