# 第 13966 題：有界線性算子 [返回所在分頁 70](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/70/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0016) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13966 · q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0016 ## 原題與已知條件 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-l1-norm；資料={"matrix":[[3,-2,-4],[-2,-3,4]]}。請依 [matrix,column_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。 - G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-l1-norm；資料={"matrix":[[3,-2,-4],[-2,-3,4]]}。請依 [matrix,column_sums,operator_norm,certificate] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-bounded-linear-operator](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bounded-linear-operator/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 original column index=0;ordered entries=[3, -2] 操作後 absolute entries=[3, 2] 條件：無 l1沿每欄往下加，linfinity沿每列橫加；保留原軸次序，不因長方形而混交換行列。 步驟識別與依賴規則：operator_correct_axis_absolute_sum · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 operator column0 absolute sum := sum(3, 2) 操作後 operator column0 absolute sum = 5 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original column index=1;ordered entries=[-2, -3] 操作後 absolute entries=[2, 3] 條件：無 l1沿每欄往下加，linfinity沿每列橫加；保留原軸次序，不因長方形而混交換行列。 步驟識別與依賴規則：operator_correct_axis_absolute_sum · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 operator column1 absolute sum := sum(2, 3) 操作後 operator column1 absolute sum = 5 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 original column index=2;ordered entries=[-4, 4] 操作後 absolute entries=[4, 4] 條件：無 l1沿每欄往下加，linfinity沿每列橫加；保留原軸次序，不因長方形而混交換行列。 步驟識別與依賴規則：operator_correct_axis_absolute_sum · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 operator column2 absolute sum := sum(4, 4) 操作後 operator column2 absolute sum = 8 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 all absolute column sums=[5, 5, 8] 操作後 maximum=8;first maximizing column=2 條件：無 先算完所有指定軸的和，才取最大值；這個值稍後要同時有全稱上界與達到的單位輸入。 步驟識別與依賴規則：operator_maximum_axis_sum · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 arbitrary x in R^3;all column sums<=8 操作後 norm1(Ax)<=sum_j(sum_i abs(Aij))*abs(xj)<=8*norm1(x) 條件：無 逐輸出用三角不等式，再交換有限雙重和，各欄係數≤最大欄和L，故對每個實向量都有同一常數界，不是抽樣。 步驟識別與依賴規則：operator_l1_universal_column_bound · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 attaining unit input image:matrix=[[3, -2, -4], [-2, -3, 4]];input=[0, 0, 1] 操作後 input dimension=3;output dimension=2;rows dot input 條件：無 保留長方形矩陣的欄輸入、列輸出角色，計算值可超過原輸入座標界，不重新截斷。 步驟識別與依賴規則：matrix_row_column_roles · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 attaining unit input image row0 column0 product := mul(3, 0) 操作後 attaining unit input image row0 column0 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 attaining unit input image row0 column1 product := mul(-2, 0) 操作後 attaining unit input image row0 column1 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 attaining unit input image row0 column2 product := mul(-4, 1) 操作後 attaining unit input image row0 column2 product = -4 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 attaining unit input image row0 sum := sum(0, 0, -4) 操作後 attaining unit input image row0 sum = -4 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 attaining unit input image row1 column0 product := mul(-2, 0) 操作後 attaining unit input image row1 column0 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 attaining unit input image row1 column1 product := mul(-3, 0) 操作後 attaining unit input image row1 column1 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 attaining unit input image row1 column2 product := mul(4, 1) 操作後 attaining unit input image row1 column2 product = 4 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 attaining unit input image row1 sum := sum(0, 0, 4) 操作後 attaining unit input image row1 sum = 4 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 attaining input:signed vector=[0, 0, 1];norm=l1 操作後 coordinate absolute values=[0, 0, 1] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 attaining input l1 sum := sum(0, 0, 1) 操作後 attaining input l1 sum = 1 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 attaining output:signed vector=[-4, 4];norm=l1 操作後 coordinate absolute values=[4, 4] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 attaining output l1 sum := sum(4, 4) 操作後 attaining output l1 sum = 8 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 explicit input=[0, 0, 1];input norm=1;image=[-4, 4];output norm=8 操作後 uniform upper bound=8 and attained ratio=8;exact induced norm=8 條件：無 l1取最大欄的座標基，linfinity取最大列的係數符號；零矩陣仍選非零單位向量。已證所有輸入上界L，又有單位輸入達L，所以更小常數不可能，才是exact norm。 步驟識別與依賴規則：operator_attainment_proves_least_uniform_constant · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining output l1 sum，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining input l1 sum，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 sum，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column2 product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 sum，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column2 product，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 attaining unit input image row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column2 absolute sum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column1 absolute sum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 operator column0 absolute sum，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[3, -2, -4], [-2, -3, 4]], [5, 5, 8], 8, maximum_absolute_column_sum) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 9146ea73640a93edf5972d1ca0c77e9bb705b63a69e59e0e982928a323c2398d - candidate record SHA-256: 41e32a23973e04b40d694d84ff9dae3d7e7a334944dc9d3ee7a320b87a5b3660 - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0016.json)