# 第 13902 題：有界線性算子 [返回所在分頁 70](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/70/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0052) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13902 · q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0052 ## 原題與已知條件 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[-11,-2,-2],[-1,11,-1]],"norm_name":"linfinity","vector":[-3,-1,-2],"C":16}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。 - G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[-11,-2,-2],[-1,11,-1]],"norm_name":"linfinity","vector":[-3,-1,-2],"C":16}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-bounded-linear-operator](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bounded-linear-operator/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 provided input image:matrix=[[-11, -2, -2], [-1, 11, -1]];input=[-3, -1, -2] 操作後 input dimension=3;output dimension=2;rows dot input 條件：無 保留長方形矩陣的欄輸入、列輸出角色，計算值可超過原輸入座標界，不重新截斷。 步驟識別與依賴規則：matrix_row_column_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 provided input image row0 column0 product := mul(-11, -3) 操作後 provided input image row0 column0 product = 33 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 provided input image row0 column1 product := mul(-2, -1) 操作後 provided input image row0 column1 product = 2 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 provided input image row0 column2 product := mul(-2, -2) 操作後 provided input image row0 column2 product = 4 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 provided input image row0 sum := sum(33, 2, 4) 操作後 provided input image row0 sum = 39 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 provided input image row1 column0 product := mul(-1, -3) 操作後 provided input image row1 column0 product = 3 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 provided input image row1 column1 product := mul(11, -1) 操作後 provided input image row1 column1 product = -11 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 provided input image row1 column2 product := mul(-1, -2) 操作後 provided input image row1 column2 product = 2 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 provided input image row1 sum := sum(3, -11, 2) 操作後 provided input image row1 sum = -6 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 provided input:signed vector=[-3, -1, -2];norm=linfinity 操作後 coordinate absolute values=[3, 1, 2] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 provided input:all absolute coordinates=[3, 1, 2] 操作後 maximum=3;first attaining coordinate=0 條件：無 非空有限清單的最大值須覆蓋每項且由一項達到，不拿最大帶號座標替代。 步驟識別與依賴規則：operator_linfinity_full_maximum · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 provided output:signed vector=[39, -6];norm=linfinity 操作後 coordinate absolute values=[39, 6] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 provided output:all absolute coordinates=[39, 6] 操作後 maximum=39;first attaining coordinate=0 條件：無 非空有限清單的最大值須覆蓋每項且由一項達到，不拿最大帶號座標替代。 步驟識別與依賴規則：operator_linfinity_full_maximum · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 proposed C times input norm := mul(16, 3) 操作後 proposed C times input norm = 48 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 provided input=[-3, -1, -2];output norm=39;C=16;input norm=3;rhs=48 操作後 this instance passes=是;instance_only 條件：無 只比較這個輸入；零輸入即使非零矩陣、C=0也可通過，不能升格為所有向量的界或exact norm。 步驟識別與依賴規則：operator_single_input_not_uniform_exact_norm · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 proposed C times input norm，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column2 product，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 sum，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column2 product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (linfinity, [-3, -1, -2], [39, -6], 3, 39, 16, 48, 是, instance_only) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: b3eb21084d287fbe39a9a75f86c3f1c1739c18aaf8c1055e57780602376510b6 - candidate record SHA-256: 1fc0df6745c677a9b0c9654d9bd64a508bc466b83303541a9f519599b1bae99c - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0052.json)