# 第 13921 題：有界線性算子 [返回所在分頁 70](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/70/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0071) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13921 · q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0071 ## 原題與已知條件 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[8,3,0],[-2,-8,3]],"norm_name":"l1","vector":[-2,-2,3],"C":10}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。 - G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[8,3,0],[-2,-8,3]],"norm_name":"l1","vector":[-2,-2,3],"C":10}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-bounded-linear-operator](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bounded-linear-operator/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 provided input image:matrix=[[8, 3, 0], [-2, -8, 3]];input=[-2, -2, 3] 操作後 input dimension=3;output dimension=2;rows dot input 條件：無 保留長方形矩陣的欄輸入、列輸出角色，計算值可超過原輸入座標界，不重新截斷。 步驟識別與依賴規則：matrix_row_column_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 provided input image row0 column0 product := mul(8, -2) 操作後 provided input image row0 column0 product = -16 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 provided input image row0 column1 product := mul(3, -2) 操作後 provided input image row0 column1 product = -6 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 provided input image row0 column2 product := mul(0, 3) 操作後 provided input image row0 column2 product = 0 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 provided input image row0 sum := sum(-16, -6, 0) 操作後 provided input image row0 sum = -22 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 provided input image row1 column0 product := mul(-2, -2) 操作後 provided input image row1 column0 product = 4 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 provided input image row1 column1 product := mul(-8, -2) 操作後 provided input image row1 column1 product = 16 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 provided input image row1 column2 product := mul(3, 3) 操作後 provided input image row1 column2 product = 9 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 provided input image row1 sum := sum(4, 16, 9) 操作後 provided input image row1 sum = 29 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 provided input:signed vector=[-2, -2, 3];norm=l1 操作後 coordinate absolute values=[2, 2, 3] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 provided input l1 sum := sum(2, 2, 3) 操作後 provided input l1 sum = 7 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 provided output:signed vector=[-22, 29];norm=l1 操作後 coordinate absolute values=[22, 29] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 provided output l1 sum := sum(22, 29) 操作後 provided output l1 sum = 51 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 proposed C times input norm := mul(10, 7) 操作後 proposed C times input norm = 70 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 provided input=[-2, -2, 3];output norm=51;C=10;input norm=7;rhs=70 操作後 this instance passes=是;instance_only 條件：無 只比較這個輸入；零輸入即使非零矩陣、C=0也可通過，不能升格為所有向量的界或exact norm。 步驟識別與依賴規則：operator_single_input_not_uniform_exact_norm · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 proposed C times input norm，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided output l1 sum，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input l1 sum，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column2 product，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 sum，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column2 product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (l1, [-2, -2, 3], [-22, 29], 7, 51, 10, 70, 是, instance_only) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 16e061aa9bb16927c08112b1fcd871fb2d001394f595b9aed668a5c1c1aa0269 - candidate record SHA-256: 61d9ec897f01bf898785063cbadfc967a9b79603e89c73d3f0107122766779b5 - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0071.json)