# 第 13922 題：有界線性算子 [返回所在分頁 70](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/70/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0072) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13922 · q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0072 ## 原題與已知條件 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]],"norm_name":"linfinity","vector":[-1,-1,-3],"C":15}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。 - G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bound-instance；資料={"matrix":[[9,-3,3],[-1,-9,-5]],"norm_name":"linfinity","vector":[-1,-1,-3],"C":15}。請依 [norm_name,vector,image,input_norm,output_norm,C,rhs,pass,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-bounded-linear-operator](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bounded-linear-operator/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 provided input image:matrix=[[9, -3, 3], [-1, -9, -5]];input=[-1, -1, -3] 操作後 input dimension=3;output dimension=2;rows dot input 條件：無 保留長方形矩陣的欄輸入、列輸出角色，計算值可超過原輸入座標界，不重新截斷。 步驟識別與依賴規則：matrix_row_column_roles · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 provided input image row0 column0 product := mul(9, -1) 操作後 provided input image row0 column0 product = -9 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 provided input image row0 column1 product := mul(-3, -1) 操作後 provided input image row0 column1 product = 3 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 provided input image row0 column2 product := mul(3, -3) 操作後 provided input image row0 column2 product = -9 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 provided input image row0 sum := sum(-9, 3, -9) 操作後 provided input image row0 sum = -15 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 provided input image row1 column0 product := mul(-1, -1) 操作後 provided input image row1 column0 product = 1 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 provided input image row1 column1 product := mul(-9, -1) 操作後 provided input image row1 column1 product = 9 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 provided input image row1 column2 product := mul(-5, -3) 操作後 provided input image row1 column2 product = 15 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 provided input image row1 sum := sum(1, 9, 15) 操作後 provided input image row1 sum = 25 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 provided input:signed vector=[-1, -1, -3];norm=linfinity 操作後 coordinate absolute values=[1, 1, 3] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 provided input:all absolute coordinates=[1, 1, 3] 操作後 maximum=3;first attaining coordinate=2 條件：無 非空有限清單的最大值須覆蓋每項且由一項達到，不拿最大帶號座標替代。 步驟識別與依賴規則：operator_linfinity_full_maximum · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 provided output:signed vector=[-15, 25];norm=linfinity 操作後 coordinate absolute values=[15, 25] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 provided output:all absolute coordinates=[15, 25] 操作後 maximum=25;first attaining coordinate=1 條件：無 非空有限清單的最大值須覆蓋每項且由一項達到，不拿最大帶號座標替代。 步驟識別與依賴規則：operator_linfinity_full_maximum · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 proposed C times input norm := mul(15, 3) 操作後 proposed C times input norm = 45 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 provided input=[-1, -1, -3];output norm=25;C=15;input norm=3;rhs=45 操作後 this instance passes=是;instance_only 條件：無 只比較這個輸入；零輸入即使非零矩陣、C=0也可通過，不能升格為所有向量的界或exact norm。 步驟識別與依賴規則：operator_single_input_not_uniform_exact_norm · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 proposed C times input norm，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 sum，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column2 product，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column1 product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row1 column0 product，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 sum，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column2 product，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column1 product，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 provided input image row0 column0 product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (linfinity, [-1, -1, -3], [-15, 25], 3, 25, 15, 45, 是, instance_only) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: bd8a0ab3457da608d6f958cacc7fc2f68dc572baa4c5b77edd6f29933a271d51 - candidate record SHA-256: 834c934e9c9fa6cd5a092df7ed029be0940e51b91b915307f8bf56702efaab8f - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0072.json)