# 第 13939 題：有界線性算子 [返回所在分頁 70](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/70/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0089) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13939 · q-20261014-advance-20261028-r05-bounded-linear-operator-0089 ## 原題與已知條件 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bounded-certificate；資料={"matrix":[[1,3,1],[1,-1,-6]],"norm_name":"linfinity","C":9}。請依 [norm_name,exact_operator_norm,C,uniform_bound,optimal,boundary] 欄序回答。 - G001 — 來源與目標norm明示且使用單一統一常數。操作=operator-bounded-certificate；資料={"matrix":[[1,3,1],[1,-1,-6]],"norm_name":"linfinity","C":9}。請依 [norm_name,exact_operator_norm,C,uniform_bound,optimal,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-bounded-linear-operator](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bounded-linear-operator/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 original row index=0;ordered entries=[1, 3, 1] 操作後 absolute entries=[1, 3, 1] 條件：無 l1沿每欄往下加，linfinity沿每列橫加；保留原軸次序，不因長方形而混交換行列。 步驟識別與依賴規則：operator_correct_axis_absolute_sum · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 operator row0 absolute sum := sum(1, 3, 1) 操作後 operator row0 absolute sum = 5 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original row index=1;ordered entries=[1, -1, -6] 操作後 absolute entries=[1, 1, 6] 條件：無 l1沿每欄往下加，linfinity沿每列橫加；保留原軸次序，不因長方形而混交換行列。 步驟識別與依賴規則：operator_correct_axis_absolute_sum · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 operator row1 absolute sum := sum(1, 1, 6) 操作後 operator row1 absolute sum = 8 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 all absolute row sums=[5, 8] 操作後 maximum=8;first maximizing row=1 條件：無 先算完所有指定軸的和，才取最大值；這個值稍後要同時有全稱上界與達到的單位輸入。 步驟識別與依賴規則：operator_maximum_axis_sum · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 arbitrary x in R^3;all row sums<=8 操作後 each abs((Ax)i)<=sum_j abs(Aij)*normInfinity(x)<=8*normInfinity(x);take maximum_i 條件：無 每個輸入座標絕對值≤輸入最大範數，先界每列再取輸出最大值，得到全稱統一界。 步驟識別與依賴規則：operator_linfinity_universal_row_bound · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 attaining unit input image:matrix=[[1, 3, 1], [1, -1, -6]];input=[1, -1, -1] 操作後 input dimension=3;output dimension=2;rows dot input 條件：無 保留長方形矩陣的欄輸入、列輸出角色，計算值可超過原輸入座標界，不重新截斷。 步驟識別與依賴規則：matrix_row_column_roles · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 attaining unit input image row0 column0 product := mul(1, 1) 操作後 attaining unit input image row0 column0 product = 1 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 attaining unit input image row0 column1 product := mul(3, -1) 操作後 attaining unit input image row0 column1 product = -3 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 attaining unit input image row0 column2 product := mul(1, -1) 操作後 attaining unit input image row0 column2 product = -1 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 attaining unit input image row0 sum := sum(1, -3, -1) 操作後 attaining unit input image row0 sum = -3 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 attaining unit input image row1 column0 product := mul(1, 1) 操作後 attaining unit input image row1 column0 product = 1 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 attaining unit input image row1 column1 product := mul(-1, -1) 操作後 attaining unit input image row1 column1 product = 1 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 attaining unit input image row1 column2 product := mul(-6, -1) 操作後 attaining unit input image row1 column2 product = 6 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 attaining unit input image row1 sum := sum(1, 1, 6) 操作後 attaining unit input image row1 sum = 8 條件：無 依原資料角色與已核中間量精確計算；保留座標、係數、正負號及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 attaining input:signed vector=[1, -1, -1];norm=linfinity 操作後 coordinate absolute values=[1, 1, 1] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 attaining input:all absolute coordinates=[1, 1, 1] 操作後 maximum=1;first attaining coordinate=0 條件：無 非空有限清單的最大值須覆蓋每項且由一項達到，不拿最大帶號座標替代。 步驟識別與依賴規則：operator_linfinity_full_maximum · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 attaining output:signed vector=[-3, 8];norm=linfinity 操作後 coordinate absolute values=[3, 8] 條件：無 先對完整座標取絕對值，不改原向量配對；這裡也可接收已算出的矩陣像，而不套原輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：operator_named_norm_original_signs · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 attaining output:all absolute coordinates=[3, 8] 操作後 maximum=8;first attaining coordinate=1 條件：無 非空有限清單的最大值須覆蓋每項且由一項達到，不拿最大帶號座標替代。 步驟識別與依賴規則：operator_linfinity_full_maximum · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 explicit input=[1, -1, -1];input norm=1;image=[-3, 8];output norm=8 操作後 uniform upper bound=8 and attained ratio=8;exact induced norm=8 條件：無 l1取最大欄的座標基，linfinity取最大列的係數符號；零矩陣仍選非零單位向量。已證所有輸入上界L，又有單位輸入達L，所以更小常數不可能，才是exact norm。 步驟識別與依賴規則：operator_attainment_proves_least_uniform_constant · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 exact induced norm=8;proposed nonnegative C=9;attaining unit input=[1, -1, -1] 操作後 uniform bound=是;optimal bound=否 條件：無 C≥L時，由範數非負可把全稱界L放寬到C；C