# 第 14084 題：隨機變數獨立 [返回所在分頁 71](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/71/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r06-random-variable-independence-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r06-random-variable-independence-0084) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0027-14084 · q-20261014-advance-20261028-r06-random-variable-independence-0084 ## 原題與已知條件 全部計算綁定同一完整有限joint law。操作=rvind-zero-covariance；資料={"x_values":[-4,21],"y_values":[-2,28],"masses":[[[15,49],[6,49]],[[20,49],[8,49]]]}。請依 [independent,E_X,E_Y,E_XY,covariance,implication_pass,boundary] 欄序回答。 - G001 — 全部計算綁定同一完整有限joint law。操作=rvind-zero-covariance；資料={"x_values":[-4,21],"y_values":[-2,28],"masses":[[[15,49],[6,49]],[[20,49],[8,49]]]}。請依 [independent,E_X,E_Y,E_XY,covariance,implication_pass,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-random-variable-independence](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-random-variable-independence/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 joint grid model whole mass sum := sum(15/49, 6/49, 20/49, 8/49) 操作後 joint grid model whole mass sum = 1 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · implies操作前 joint grid model:raw aligned masses=[[15, 49], [6, 49], [20, 49], [8, 49]] 操作後 normalized masses=[15/49, 6/49, 20/49, 8/49];nonnegative=是;total=1 條件：無 完整同一有限機率模型先核非負與總和恰為1；零質量原子仍保留，不默認均勻或另換模型。 步驟識別與依賴規則：whole_finite_probability_law_not_uniform_assumption · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original x row labels=[-4, 21];original y column labels=[-2, 28] 操作後 normalized aligned row-by-column joint grid=[[15/49, 6/49], [20/49, 8/49]] 條件：無 值清單各自不重複，但可非數值排序。所有質量依原行列位置配對，包含零格，不按值排序後錯配矩陣。 步驟識別與依賴規則：RV_joint_grid_original_order_not_value_sort · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 X row0 marginal := sum(15/49, 6/49) 操作後 X row0 marginal = 3/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 X row1 marginal := sum(20/49, 8/49) 操作後 X row1 marginal = 4/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Y column0 marginal := sum(15/49, 20/49) 操作後 Y column0 marginal = 5/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Y column1 marginal := sum(6/49, 8/49) 操作後 Y column1 marginal = 2/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 joint cell row0 column0 marginal product := mul(3/7, 5/7) 操作後 joint cell row0 column0 marginal product = 15/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 original row=0;column=0;value labels=[-4, -2];joint mass=15/49;marginal product=15/49 操作後 cell factorizes=是 條件：無 逐完整grid每格核單點事件乘積，零格也不能略過；一個失敗格就給單點逆像事件反例，失敗清單維持原row-major次序。 步驟識別與依賴規則：RV_independence_every_joint_cell · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 joint cell row0 column1 marginal product := mul(3/7, 2/7) 操作後 joint cell row0 column1 marginal product = 6/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 original row=0;column=1;value labels=[-4, 28];joint mass=6/49;marginal product=6/49 操作後 cell factorizes=是 條件：無 逐完整grid每格核單點事件乘積，零格也不能略過；一個失敗格就給單點逆像事件反例，失敗清單維持原row-major次序。 步驟識別與依賴規則：RV_independence_every_joint_cell · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 joint cell row1 column0 marginal product := mul(4/7, 5/7) 操作後 joint cell row1 column0 marginal product = 20/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 original row=1;column=0;value labels=[21, -2];joint mass=20/49;marginal product=20/49 操作後 cell factorizes=是 條件：無 逐完整grid每格核單點事件乘積，零格也不能略過；一個失敗格就給單點逆像事件反例，失敗清單維持原row-major次序。 步驟識別與依賴規則：RV_independence_every_joint_cell · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 joint cell row1 column1 marginal product := mul(4/7, 2/7) 操作後 joint cell row1 column1 marginal product = 8/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 original row=1;column=1;value labels=[21, 28];joint mass=8/49;marginal product=8/49 操作後 cell factorizes=是 條件：無 逐完整grid每格核單點事件乘積，零格也不能略過；一個失敗格就給單點逆像事件反例，失敗清單維持原row-major次序。 步驟識別與依賴規則：RV_independence_every_joint_cell · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 all joint factorization failures=[] 操作後 random variables independent=是;all-cell factorization covers every value-event rectangle 條件：無 全部格分解時，任意值事件矩形的聯合和可分成兩個邊際和的乘積，所以覆蓋所有逆像事件；不推出同分布、IID、Markov或更大家族互獨立。 步驟識別與依賴規則：RV_all_cells_to_all_event_preimages · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 moment row0 col0 weighted X := mul(15/49, -4) 操作後 moment row0 col0 weighted X = -60/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 moment row0 col0 weighted Y := mul(15/49, -2) 操作後 moment row0 col0 weighted Y = -30/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 moment row0 col0 XY := mul(-4, -2) 操作後 moment row0 col0 XY = 8 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 moment row0 col0 weighted XY := mul(15/49, 8) 操作後 moment row0 col0 weighted XY = 120/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 moment row0 col1 weighted X := mul(6/49, -4) 操作後 moment row0 col1 weighted X = -24/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 moment row0 col1 weighted Y := mul(6/49, 28) 操作後 moment row0 col1 weighted Y = 24/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 moment row0 col1 XY := mul(-4, 28) 操作後 moment row0 col1 XY = -112 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 moment row0 col1 weighted XY := mul(6/49, -112) 操作後 moment row0 col1 weighted XY = -96/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 moment row1 col0 weighted X := mul(20/49, 21) 操作後 moment row1 col0 weighted X = 60/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 moment row1 col0 weighted Y := mul(20/49, -2) 操作後 moment row1 col0 weighted Y = -40/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 moment row1 col0 XY := mul(21, -2) 操作後 moment row1 col0 XY = -42 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 moment row1 col0 weighted XY := mul(20/49, -42) 操作後 moment row1 col0 weighted XY = -120/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 moment row1 col1 weighted X := mul(8/49, 21) 操作後 moment row1 col1 weighted X = 24/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 moment row1 col1 weighted Y := mul(8/49, 28) 操作後 moment row1 col1 weighted Y = 32/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 moment row1 col1 XY := mul(21, 28) 操作後 moment row1 col1 XY = 588 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 moment row1 col1 weighted XY := mul(8/49, 588) 操作後 moment row1 col1 weighted XY = 96 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 grid E_X := sum(-60/49, -24/49, 60/7, 24/7) 操作後 grid E_X = 72/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 grid E_Y := sum(-30/49, 24/7, -40/49, 32/7) 操作後 grid E_Y = 46/7 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 grid E_XY := sum(120/49, -96/7, -120/7, 96) 操作後 grid E_XY = 3312/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 grid product of means := mul(72/7, 46/7) 操作後 grid product of means = 3312/49 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 grid covariance := sub(3312/49, 3312/49) 操作後 grid covariance = 0 條件：無 依原始角色、完整配對與已核中間量精確計算；保留分母、正負號及零值。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 verified independence=是;E_X=72/7;E_Y=46/7;E_XY=3312/49;covariance=0 操作後 source implication_pass is conjunction(independent,covariance0)=是,not material implication 條件：無 若全格獨立已證，有限雙重和分配得E[XY]=E[X]E[Y]，故Cov=0。原欄名雖叫implication_pass，協定其實要兩者同真；相依模型即使Cov=0仍回No，不是否定獨立推出零協方差定理，也不倒推獨立。 步驟識別與依賴規則：RV_zero_covariance_conjunction_not_converse · 依賴：G001, S037 ## 逐步反向核對 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid covariance，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid product of means，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_XY，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_Y，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 grid E_X，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted XY，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 XY，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted Y，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col1 weighted X，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted XY，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 XY，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted Y，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row1 col0 weighted X，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted XY，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 XY，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted Y，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col1 weighted X，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted XY，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 XY，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted Y，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 moment row0 col0 weighted X，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row1 column1 marginal product，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row1 column0 marginal product，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row0 column1 marginal product，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint cell row0 column0 marginal product，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y column1 marginal，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Y column0 marginal，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X row1 marginal，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 X row0 marginal，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 joint grid model whole mass sum，不以小數近似替代。 ## 結論 (是, 72/7, 46/7, 3312/49, 0, 是, zero_covariance_converse_not_claimed) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8594e6bf3a8ea8fdcc3fc8744192f648bb4b35343a4380aa08dcb71711a1457a - candidate record SHA-256: 85e28668b8748a32bbb5d1b85081d7c121dddf07c5a7c1a050c3aff39acdce7d - semantic review receipt SHA-256: e49bf5eaa968c09ebac4ad538ce58251671ed922c957cee1471cfc7b68934bfe - question-first witness SHA-256: a7976057c26051fab92342fc95d48af224466c0e1e4ab6ae4c8811c02772e6da - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r06-random-variable-independence-0084.json)