# 第 13649 題：連通分量 [返回所在分頁 69](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/69/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261028-r07-connected-component-foundations/#q-20261014-advance-20261028-r07-connected-component-0024) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0026-13649 · q-20261014-advance-20261028-r07-connected-component-0024 ## 原題與已知條件 完整有限無向無loop簡單圖。操作=component-of-vertex；資料={"n":7,"edges":[[0,4],[0,6],[1,2],[1,5],[1,6],[2,5],[2,6],[3,4],[3,6]],"vertex":2}。請依 [vertex,component] 欄序回答。 - G001 — 完整有限無向無loop簡單圖。操作=component-of-vertex；資料={"n":7,"edges":[[0,4],[0,6],[1,2],[1,5],[1,6],[2,5],[2,6],[3,4],[3,6]],"vertex":2}。請依 [vertex,component] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-connected-component](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-connected-component/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 full carrier Fin(7);raw undirected edges=[[0, 4], [0, 6], [1, 2], [1, 5], [1, 6], [2, 5], [2, 6], [3, 4], [3, 6]] 操作後 canonical simple edges=[[0, 4], [0, 6], [1, 2], [1, 5], [1, 6], [2, 5], [2, 6], [3, 4], [3, 6]];full adjacency rows=[[4, 6], [2, 5, 6], [1, 5, 6], [4, 6], [0, 3], [1, 2], [0, 1, 2, 3]] 條件：無 用完整載體建立鄰接表，拒絕loop與重複無向邊；沒出現在邊中的頂點仍保留空鄰接列，不切換有向連通語義。 步驟識別與依賴規則：component_full_undirected_graph_includes_isolates · 依賴：G001 S002 · implies操作前 selected vertex:start vertex=2;complete adjacency=[[4, 6], [2, 5, 6], [1, 5, 6], [4, 6], [0, 3], [1, 2], [0, 1, 2, 3]] 操作後 initial visited=[2];path to start=[2];edge length0 條件：無 起點以長度0路徑到自己，孤立點也必須納入，不能因沒有邊而漏掉。 步驟識別與依賴規則：component_zero_length_reflexive_path · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 selected vertex:layer=0;frontier=[2];all frontier neighbors=[1, 5, 6] 操作後 previously seen=[2];new vertices=[1, 5, 6] 條件：無 每層遍歷該層所有頂點的所有鄰居，去重後只加入未訪者；不提前停止於看起來足夠的子圖。 步驟識別與依賴規則：component_complete_frontier_expansion · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 selected vertex:new vertex=1;earliest frontier parent=2;parent path=[2] 操作後 append actual parent edge;reachable path=[2, 1] 條件：無 已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。 步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 selected vertex:new vertex=5;earliest frontier parent=2;parent path=[2] 操作後 append actual parent edge;reachable path=[2, 5] 條件：無 已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。 步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 selected vertex:new vertex=6;earliest frontier parent=2;parent path=[2] 操作後 append actual parent edge;reachable path=[2, 6] 條件：無 已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。 步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 selected vertex:layer=1;frontier=[1, 5, 6];all frontier neighbors=[0, 1, 2, 3, 5, 6] 操作後 previously seen=[1, 2, 5, 6];new vertices=[0, 3] 條件：無 每層遍歷該層所有頂點的所有鄰居，去重後只加入未訪者；不提前停止於看起來足夠的子圖。 步驟識別與依賴規則：component_complete_frontier_expansion · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 selected vertex:new vertex=0;earliest frontier parent=6;parent path=[2, 6] 操作後 append actual parent edge;reachable path=[2, 6, 0] 條件：無 已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。 步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 selected vertex:new vertex=3;earliest frontier parent=6;parent path=[2, 6] 操作後 append actual parent edge;reachable path=[2, 6, 3] 條件：無 已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。 步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 selected vertex:layer=2;frontier=[0, 3];all frontier neighbors=[4, 6] 操作後 previously seen=[0, 1, 2, 3, 5, 6];new vertices=[4] 條件：無 每層遍歷該層所有頂點的所有鄰居，去重後只加入未訪者；不提前停止於看起來足夠的子圖。 步驟識別與依賴規則：component_complete_frontier_expansion · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 selected vertex:new vertex=4;earliest frontier parent=0;parent path=[2, 6, 0] 操作後 append actual parent edge;reachable path=[2, 6, 0, 4] 條件：無 已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。 步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 selected vertex:layer=3;frontier=[4];all frontier neighbors=[0, 3] 操作後 previously seen=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];new vertices=[] 條件：無 每層遍歷該層所有頂點的所有鄰居，去重後只加入未訪者；不提前停止於看起來足夠的子圖。 步驟識別與依賴規則：component_complete_frontier_expansion · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 selected vertex:final visited=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];all [vertex,neighbors,outside neighbors] rows=[[0, [4, 6], []], [1, [2, 5, 6], []], [2, [1, 5, 6], []], [3, [4, 6], []], [4, [0, 3], []], [5, [1, 2], []], [6, [0, 1, 2, 3], []]] 操作後 no edge leaves visited;every visited vertex has a path;visited equals full reachable set 條件：無 路徑見證給已訪⊆可達；搜尋完後無邊離開已訪集合，任一路徑若到外面必有第一條離開邊，矛盾，因此可達⊆已訪。兩方向才是完整分量，不是遍歷順序。 步驟識別與依賴規則：component_reachable_and_closed_set_completeness · 依賴：G001, S012 ## 逐步反向核對 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1ebef9a6db61c1315f0a5dfefd68ee68279409bd90152394c68c7a095074139d - candidate record SHA-256: 4396f25e7175b7ffaccddc6db7abce7c0f6c986e1c76cc73614ee899a368b971 - semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798 - question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r07-connected-component-0024.json)