# 第 13662 題：連通分量

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0026-13662 · q-20261014-advance-20261028-r07-connected-component-0087



## 原題與已知條件

完整有限無向無loop簡單圖。操作=component-partition；資料={"n":7,"edges":[[0,3],[0,5],[0,6],[1,4],[1,5],[2,4],[2,5],[2,6],[3,5]]}。請依 [components,covers_vertices,disjoint,singletons,boundary] 欄序回答。


- G001 — 完整有限無向無loop簡單圖。操作=component-partition；資料={"n":7,"edges":[[0,3],[0,5],[0,6],[1,4],[1,5],[2,4],[2,5],[2,6],[3,5]]}。請依 [components,covers_vertices,disjoint,singletons,boundary] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-connected-component](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-connected-component/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

full carrier Fin(7);raw undirected edges=[[0, 3], [0, 5], [0, 6], [1, 4], [1, 5], [2, 4], [2, 5], [2, 6], [3, 5]]

操作後

canonical simple edges=[[0, 3], [0, 5], [0, 6], [1, 4], [1, 5], [2, 4], [2, 5], [2, 6], [3, 5]];full adjacency rows=[[3, 5, 6], [4, 5], [4, 5, 6], [0, 5], [1, 2], [0, 1, 2, 3], [0, 2]]

條件：無

用完整載體建立鄰接表，拒絕loop與重複無向邊；沒出現在邊中的頂點仍保留空鄰接列，不切換有向連通語義。

步驟識別與依賴規則：component_full_undirected_graph_includes_isolates · 依賴：G001





S002 · implies操作前

class representative0:start vertex=0;complete adjacency=[[3, 5, 6], [4, 5], [4, 5, 6], [0, 5], [1, 2], [0, 1, 2, 3], [0, 2]]

操作後

initial visited=[0];path to start=[0];edge length0

條件：無

起點以長度0路徑到自己，孤立點也必須納入，不能因沒有邊而漏掉。

步驟識別與依賴規則：component_zero_length_reflexive_path · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

class representative0:layer=0;frontier=[0];all frontier neighbors=[3, 5, 6]

操作後

previously seen=[0];new vertices=[3, 5, 6]

條件：無

每層遍歷該層所有頂點的所有鄰居，去重後只加入未訪者；不提前停止於看起來足夠的子圖。

步驟識別與依賴規則：component_complete_frontier_expansion · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

class representative0:new vertex=3;earliest frontier parent=0;parent path=[0]

操作後

append actual parent edge;reachable path=[0, 3]

條件：無

已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。

步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

class representative0:new vertex=5;earliest frontier parent=0;parent path=[0]

操作後

append actual parent edge;reachable path=[0, 5]

條件：無

已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。

步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

class representative0:new vertex=6;earliest frontier parent=0;parent path=[0]

操作後

append actual parent edge;reachable path=[0, 6]

條件：無

已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。

步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

class representative0:layer=1;frontier=[3, 5, 6];all frontier neighbors=[0, 1, 2, 3, 5]

操作後

previously seen=[0, 3, 5, 6];new vertices=[1, 2]

條件：無

每層遍歷該層所有頂點的所有鄰居，去重後只加入未訪者；不提前停止於看起來足夠的子圖。

步驟識別與依賴規則：component_complete_frontier_expansion · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

class representative0:new vertex=1;earliest frontier parent=5;parent path=[0, 5]

操作後

append actual parent edge;reachable path=[0, 5, 1]

條件：無

已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。

步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

class representative0:new vertex=2;earliest frontier parent=5;parent path=[0, 5]

操作後

append actual parent edge;reachable path=[0, 5, 2]

條件：無

已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。

步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

class representative0:layer=2;frontier=[1, 2];all frontier neighbors=[4, 5, 6]

操作後

previously seen=[0, 1, 2, 3, 5, 6];new vertices=[4]

條件：無

每層遍歷該層所有頂點的所有鄰居，去重後只加入未訪者；不提前停止於看起來足夠的子圖。

步驟識別與依賴規則：component_complete_frontier_expansion · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

class representative0:new vertex=4;earliest frontier parent=1;parent path=[0, 5, 1]

操作後

append actual parent edge;reachable path=[0, 5, 1, 4]

條件：無

已有父路徑後，接上一條原圖邊得到新頂點路徑，故每個被加入的點真的可達。

步驟識別與依賴規則：component_each_new_vertex_path_witness · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

class representative0:layer=3;frontier=[4];all frontier neighbors=[1, 2]

操作後

previously seen=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];new vertices=[]

條件：無

每層遍歷該層所有頂點的所有鄰居，去重後只加入未訪者；不提前停止於看起來足夠的子圖。

步驟識別與依賴規則：component_complete_frontier_expansion · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

class representative0:final visited=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6];all [vertex,neighbors,outside neighbors] rows=[[0, [3, 5, 6], []], [1, [4, 5], []], [2, [4, 5, 6], []], [3, [0, 5], []], [4, [1, 2], []], [5, [0, 1, 2, 3], []], [6, [0, 2], []]]

操作後

no edge leaves visited;every visited vertex has a path;visited equals full reachable set

條件：無

路徑見證給已訪⊆可達；搜尋完後無邊離開已訪集合，任一路徑若到外面必有第一條離開邊，矛盾，因此可達⊆已訪。兩方向才是完整分量，不是遍歷順序。

步驟識別與依賴規則：component_reachable_and_closed_set_completeness · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

least unvisited representative=0;derived component=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

all visited labels=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

條件：無

類內標籤遞增，類間按最小未訪代表順序輸出；不以BFS發現順序充當canonical分量次序。

步驟識別與依賴規則：component_least_unvisited_class_order · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

all components=[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]];full carrier=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

操作後

covers=是;disjoint=是;singleton components=[]

條件：無

完整可達等價類覆蓋所有頂點且不相交；孤立點因零長度路徑各自成單點類，不只分割出現在邊中的標籤。

步驟識別與依賴規則：component_partition_full_carrier_not_edge_only · 依賴：G001, S014









## 逐步反向核對


- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]], 是, 是, [], length_zero_paths_include_every_vertex)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 63607f8a13c95963ed13a81090c4b14e5cfbe7bbbfddf8cff87b284dbd841818
- candidate record SHA-256: 9bd80d1db31f267b472f28a9dd6903d9e542952061dea2d004517daab4dfc579
- semantic review receipt SHA-256: f335caca08574c9f949c141083c66655fee51c227d45d80a3ddb7d78f862d798
- question-first witness SHA-256: cc7ba54738af91a6871fc1c20e45ad8f2b434392273fa334bd16a3b2238f4a77
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261028-r07-connected-component-0087.json)