# 第 14616 題：有限整環 [返回所在分頁 74](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/74/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261029-r01-finite-integral-domain-foundations/#q-20261014-advance-20261029-r01-finite-integral-domain-0066) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0028-14616 · q-20261014-advance-20261029-r01-finite-integral-domain-0066 ## 原題與已知條件 同一完整有限交換含一環表。操作=integraldomain-cancellation；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,4,3,0,2],[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[4,2,0,1,3]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,3,4,1,2],[0,4,1,2,3],[0,1,2,3,4],[0,2,3,4,1]],"a":1,"b":3,"c":3}。請依 [a,b,c,ab,ac,premise_equal,cancellation_valid,certificate] 欄序回答。 - G001 — 同一完整有限交換含一環表。操作=integraldomain-cancellation；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,4,3,0,2],[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[4,2,0,1,3]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,3,4,1,2],[0,4,1,2,3],[0,1,2,3,4],[0,2,3,4,1]],"a":1,"b":3,"c":3}。請依 [a,b,c,ab,ac,premise_equal,cancellation_valid,certificate] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-integral-domain](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-integral-domain/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 same carrier Fin(5);addition=[[0, 1, 2, 3, 4], [1, 4, 3, 0, 2], [2, 3, 1, 4, 0], [3, 0, 4, 2, 1], [4, 2, 0, 1, 3]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0], [0, 3, 4, 1, 2], [0, 4, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3, 4, 1]] 操作後 actual additive zero=0;actual multiplicative one=3;additive inverses=[0, 3, 4, 1, 2] 條件：無 所有係數與整環論證綁同一完整父表；單位元是實際元素，不預設標籤0或1。 步驟識別與依賴規則：commutative_parent_actual_tables_and_identities · 依賴：G001 S002 · implies操作前 all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null] 操作後 additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是 條件：無 完整核加法Abelian群、乘法結合與交換、左右分配及0≠1；整環與多項式責任在此合格前提之後，不用有限個正樣本冒充全表資格。 步驟識別與依賴規則：complete_commutative_unital_parent_qualification · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 ordered nonzero labels=[1, 1];actual zero=0;product label=3 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ordered nonzero labels=[1, 2];actual zero=0;product label=4 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ordered nonzero labels=[1, 3];actual zero=0;product label=1 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ordered nonzero labels=[1, 4];actual zero=0;product label=2 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 ordered nonzero labels=[2, 1];actual zero=0;product label=4 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ordered nonzero labels=[2, 2];actual zero=0;product label=1 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ordered nonzero labels=[2, 3];actual zero=0;product label=2 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ordered nonzero labels=[2, 4];actual zero=0;product label=3 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 ordered nonzero labels=[3, 1];actual zero=0;product label=1 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ordered nonzero labels=[3, 2];actual zero=0;product label=2 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 ordered nonzero labels=[3, 3];actual zero=0;product label=3 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ordered nonzero labels=[3, 4];actual zero=0;product label=4 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 ordered nonzero labels=[4, 1];actual zero=0;product label=2 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ordered nonzero labels=[4, 2];actual zero=0;product label=3 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 ordered nonzero labels=[4, 3];actual zero=0;product label=4 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ordered nonzero labels=[4, 4];actual zero=0;product label=1 操作後 nonzero zero-divisor witness=否 條件：無 完整檢查所有有序非零元素對，包括交換後的另一個有序對；一個非零乘積為零的見證即否證整環。 步驟識別與依賴規則：domain_all_ordered_nonzero_pairs · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 all ordered nonzero zero-divisor pairs=[] 操作後 integral domain=是;invertibility is a later finite theorem step 條件：無 整環此處是交換含一父環加無非零零因子；非零可逆不是額外定義，而是稍後需保留有限性步驟的結論。 步驟識別與依賴規則：domain_definition_not_inverse_definition · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 a times b:operation=multiplication;left label=1;right label=3;original row=[0, 3, 4, 1, 2] 操作後 result label=1 條件：無 按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。 步驟識別與依賴規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 a times c:operation=multiplication;left label=1;right label=3;original row=[0, 3, 4, 1, 2] 操作後 result label=1 條件：無 按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。 步驟識別與依賴規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 domain qualified;nonzero multiplier=1;actual products ab=1;ac=1 操作後 premise ab=ac=是;if equal then b=c=是 條件：無 若ab=ac，以分配律得a(b−c)=0；a非零且無非零零因子迫使b−c=0，所以b=c。若本題兩乘積不等，蘊涵空泛真，不宣稱此時b=c；零乘數則直接不合協定。 步驟識別與依賴規則：nonzero_domain_cancellation_conditional · 依賴：G001, S021 ## 逐步反向核對 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (1, 3, 3, 1, 1, 是, 是, nonzero_cancellation_in_domain) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4dbb52ffbd2c187991aeef46c19da1cfa59180757a69a46fe3f79b14e153cf39 - candidate record SHA-256: b6ee7e493e354d73e22b41f04413a591276e1679f758270d163f91c76182541b - semantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209ae - question-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261029-r01-finite-integral-domain-0066.json)