# 第 14784 題：有限交換環上的多項式環

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0028-14784 · q-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-0009



## 原題與已知條件

係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-normalize；資料={"n":4,"addition":[[1,0,3,2],[0,1,2,3],[3,2,0,1],[2,3,1,0]],"multiplication":[[1,1,0,0],[1,1,1,1],[0,1,2,3],[0,1,3,2]],"coefficients":[2,3,1,1]}。請依 [raw,zero,normalized,degree] 欄序回答。


- G001 — 係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-normalize；資料={"n":4,"addition":[[1,0,3,2],[0,1,2,3],[3,2,0,1],[2,3,1,0]],"multiplication":[[1,1,0,0],[1,1,1,1],[0,1,2,3],[0,1,3,2]],"coefficients":[2,3,1,1]}。請依 [raw,zero,normalized,degree] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

same carrier Fin(4);addition=[[1, 0, 3, 2], [0, 1, 2, 3], [3, 2, 0, 1], [2, 3, 1, 0]];multiplication=[[1, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 3, 2]]

操作後

actual additive zero=1;actual multiplicative one=2;additive inverses=[0, 1, 3, 2]

條件：無

所有係數與整環論證綁同一完整父表；單位元是實際元素，不預設標籤0或1。

步驟識別與依賴規則：commutative_parent_actual_tables_and_identities · 依賴：G001





S002 · implies操作前

all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null]

操作後

additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是

條件：無

完整核加法Abelian群、乘法結合與交換、左右分配及0≠1；整環與多項式責任在此合格前提之後，不用有限個正樣本冒充全表資格。

步驟識別與依賴規則：complete_commutative_unital_parent_qualification · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

given polynomial:raw ascending coefficient labels=[2, 3, 1, 1];actual ring zero=1

操作後

normalized finite support=[2, 3];last-index degree field=1

條件：無

只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。

步驟識別與依賴規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S002









## 逐步反向核對


- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([2, 3, 1, 1], 1, [2, 3], 1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: f056bb06fab1a1c893766655db97bc4b19f2645c190a0a4ddbd9c848e4c12cf3
- candidate record SHA-256: c39f6cb641e9816b4c8547f9598e24f35ecb053e7547391f42a084585b566592
- semantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209ae
- question-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-0009.json)