# 第 14725 題：有限交換環上的多項式環 [返回所在分頁 74](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/74/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-foundations/#q-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-0050) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0028-14725 · q-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-0050 ## 原題與已知條件 係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-add；資料={"n":4,"addition":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"multiplication":[[0,0,0,0],[0,1,2,3],[0,2,0,2],[0,3,2,1]],"left":[1,3,0,0,0],"right":[2,1,0,0,0]}。請依 [left,right,sum,degree] 欄序回答。 - G001 — 係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-add；資料={"n":4,"addition":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"multiplication":[[0,0,0,0],[0,1,2,3],[0,2,0,2],[0,3,2,1]],"left":[1,3,0,0,0],"right":[2,1,0,0,0]}。請依 [left,right,sum,degree] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 same carrier Fin(4);addition=[[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]];multiplication=[[0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3], [0, 2, 0, 2], [0, 3, 2, 1]] 操作後 actual additive zero=0;actual multiplicative one=1;additive inverses=[0, 3, 2, 1] 條件：無 所有係數與整環論證綁同一完整父表；單位元是實際元素，不預設標籤0或1。 步驟識別與依賴規則：commutative_parent_actual_tables_and_identities · 依賴：G001 S002 · implies操作前 all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null] 操作後 additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是 條件：無 完整核加法Abelian群、乘法結合與交換、左右分配及0≠1；整環與多項式責任在此合格前提之後，不用有限個正樣本冒充全表資格。 步驟識別與依賴規則：complete_commutative_unital_parent_qualification · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 left polynomial:raw ascending coefficient labels=[1, 3, 0, 0, 0];actual ring zero=0 操作後 normalized finite support=[1, 3];last-index degree field=1 條件：無 只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。 步驟識別與依賴規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 right polynomial:raw ascending coefficient labels=[2, 1, 0, 0, 0];actual ring zero=0 操作後 normalized finite support=[2, 1];last-index degree field=1 條件：無 只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。 步驟識別與依賴規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 sum coefficient degree0:operation=addition;left label=1;right label=2;original row=[1, 2, 3, 0] 操作後 result label=3 條件：無 按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。 步驟識別與依賴規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 sum coefficient degree1:operation=addition;left label=3;right label=1;original row=[3, 0, 1, 2] 操作後 result label=0 條件：無 按原操作與原次序查表；元素標籤不是整數加乘的值，不能用模數猜父環結構。 步驟識別與依賴規則：same_parent_operation_not_integer_labels · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 sum result:raw ascending coefficient labels=[3, 0];actual ring zero=0 操作後 normalized finite support=[3];last-index degree field=0 條件：無 只刪最高次端的實際零係數，不刪低次或中間零；空／全零輸入表示成[zero]。此協定degree是最後索引，零多項式回0，不是一般數學的零多項式degree慣例。 步驟識別與依賴規則：polynomial_trailing_actual_zero_protocol · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([1, 3], [2, 1], [3], 0) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 68742dd2f254c819a923fddd96d3f267e51d747f99478b41fd490531a639ebf8 - candidate record SHA-256: 0bc21976c844ad3103f74e9bea169a481a1426d5ca0dedf90c78c9b680bb01d0 - semantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209ae - question-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-0050.json)