# 第 14731 題：有限交換環上的多項式環 [返回所在分頁 74](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/74/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-foundations/#q-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-0081) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0028-14731 · q-20261014-advance-20261029-r02-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring-0081 ## 原題與已知條件 係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-infinite-carrier-witness；資料={"n":4,"addition":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"multiplication":[[0,0,0,0],[0,3,2,1],[0,2,0,2],[0,1,2,3]],"degree":6}。請依 [degree,monomial,coefficient_count,distinct,boundary] 欄序回答。 - G001 — 係數屬同一完整有限交換環且多項式有限支撐。操作=poly-infinite-carrier-witness；資料={"n":4,"addition":[[0,1,2,3],[1,2,3,0],[2,3,0,1],[3,0,1,2]],"multiplication":[[0,0,0,0],[0,3,2,1],[0,2,0,2],[0,1,2,3]],"degree":6}。請依 [degree,monomial,coefficient_count,distinct,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-polynomial-ring-over-finite-commutative-ring/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 same carrier Fin(4);addition=[[0, 1, 2, 3], [1, 2, 3, 0], [2, 3, 0, 1], [3, 0, 1, 2]];multiplication=[[0, 0, 0, 0], [0, 3, 2, 1], [0, 2, 0, 2], [0, 1, 2, 3]] 操作後 actual additive zero=0;actual multiplicative one=3;additive inverses=[0, 3, 2, 1] 條件：無 所有係數與整環論證綁同一完整父表；單位元是實際元素，不預設標籤0或1。 步驟識別與依賴規則：commutative_parent_actual_tables_and_identities · 依賴：G001 S002 · implies操作前 all additive/multiplicative pairs and triples checked;first failures=[null, null, null, null] 操作後 additive commute=是;multiplicative commute=是;zero differs from one=是 條件：無 完整核加法Abelian群、乘法結合與交換、左右分配及0≠1；整環與多項式責任在此合格前提之後，不用有限個正樣本冒充全表資格。 步驟識別與依賴規則：complete_commutative_unital_parent_qualification · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 monomial coefficient count := sum(6, 1) 操作後 monomial coefficient count = 7 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 arbitrary nonnegative exponent;displayed degree=6;actual zero=0;one=3 操作後 monomial coefficients=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 3];coefficient count=7 條件：無 這個多項式只有有限支撐，one放在指定指數，其餘是同一父環實際零；不生成無窮長的一個多項式。 步驟識別與依賴規則：polynomial_each_monomial_finite_support · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 zero=0 differs from one=3;compare any two different exponents d