# 第 14540 題：內積誘導範數 [返回所在分頁 73](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/73/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261029-r03-inner-product-induced-norm-foundations/#q-20261014-advance-20261029-r03-inner-product-induced-norm-0040) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0028-14540 · q-20261014-advance-20261029-r03-inner-product-induced-norm-0040 ## 原題與已知條件 向量與已認證內積綁定同一實空間。操作=innernorm-distance-square；資料={"matrix":[[16,2],[2,5]],"x":[-3,2],"y":[-2,-2]}。請依 [x,y,difference,distance_square,exact_distance] 欄序回答。 - G001 — 向量與已認證內積綁定同一實空間。操作=innernorm-distance-square；資料={"matrix":[[16,2],[2,5]],"x":[-3,2],"y":[-2,-2]}。請依 [x,y,difference,distance_square,exact_distance] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-inner-product-induced-norm](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-inner-product-induced-norm/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 inner parent diagonal product := mul(16, 5) 操作後 inner parent diagonal product = 80 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 inner parent off-diagonal product := mul(2, 2) 操作後 inner parent off-diagonal product = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 inner parent determinant := sub(80, 4) 操作後 inner parent determinant = 76 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 same real R2 inner-product candidate matrix=[[16, 2], [2, 5]] 操作後 symmetric=是;leading=16;determinant=76 條件：無 先核同一R²對稱正定父矩陣，不以無關的Euclidean或座標norm替代；對稱、首項>0、det>0才可沿用內積。 步驟識別與依賴規則：innernorm_certified_same_SPD_parent · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 inner parent completed-square slope := div(2, 16) 操作後 inner parent completed-square slope = 1/8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 inner parent completed-square remainder := div(76, 16) 操作後 inner parent completed-square remainder = 19/4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 positive leading=16;slope=1/8;positive remainder=19/4 操作後 q(s,t)=(16)*(s+(1/8)*t)^2+(19/4)*t^2;positive iff(s,t)!=0 條件：無 配方兩個正係數保證每個非零實向量的自內積正，零向量為0；不是只驗幾組正數值。 步驟識別與依賴規則：innernorm_parent_global_positive_square_certificate · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 same certified real inner product;arbitrary real x,y 操作後 if y=0 then inner(x,y)=0;otherwise yy>0 and q(x-a*y)=xx-2*a*xy+a^2*yy>=0 條件：無 對任意實a，自內積非負。y非零時yy>0；取a=xy/yy得到xx−xy²/yy≥0，乘正yy得xy²≤xx*yy。y=0分開處理，不作0/0。 步驟識別與依賴規則：innernorm_Cauchy_Schwarz_all_vectors_quadratic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 norm(x)=nonnegative sqrt(inner(x,x));inner product positive definite and bilinear 操作後 norm(x)>=0;norm(x)=0 iff x=0;norm(a*x)=abs(a)*norm(x) 條件：無 取非負根才是norm；由q(ax)=a²q(x)取根得|a|而非a，包含負純量，零向量與齊次性全稱成立。 步驟識別與依賴規則：innernorm_nonnegative_root_and_absolute_homogeneity · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 Cauchy-Schwarz holds for arbitrary x,y in this same inner product 操作後 norm(x+y)^2=xx+2*xy+yy<=(norm(x)+norm(y))^2;nonnegative roots give triangle inequality 條件：無 以|xy|≤norm(x)norm(y)界交叉項，再因兩側非負取根，才得到所有向量的三角責任；一次精確代值不是此全稱證書的來源，也不推出完備性。 步驟識別與依賴規則：innernorm_triangle_uses_universal_Cauchy_Schwarz · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 distance signed coordinate0 := sub(-3, -2) 操作後 distance signed coordinate0 = -1 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 distance signed coordinate1 := sub(2, -2) 操作後 distance signed coordinate1 = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 distance difference square:same matrix=[[16, 2], [2, 5]];first vector=[-1, 4];second vector=[-1, 4] 操作後 inner product=first^T*(matrix*second) 條件：無 按同一父內積先算矩陣乘第二槽，再與第一槽內積；推導出的有理向量仍屬R²，不套原整數輸入界截斷。 步驟識別與依賴規則：innernorm_original_slot_roles · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 distance difference square matrix term0,0 := mul(16, -1) 操作後 distance difference square matrix term0,0 = -16 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 distance difference square matrix term0,1 := mul(2, 4) 操作後 distance difference square matrix term0,1 = 8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 distance difference square image coordinate0 := sum(-16, 8) 操作後 distance difference square image coordinate0 = -8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 distance difference square matrix term1,0 := mul(2, -1) 操作後 distance difference square matrix term1,0 = -2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 distance difference square matrix term1,1 := mul(5, 4) 操作後 distance difference square matrix term1,1 = 20 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 distance difference square image coordinate1 := sum(-2, 20) 操作後 distance difference square image coordinate1 = 18 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 distance difference square first-slot term0 := mul(-1, -8) 操作後 distance difference square first-slot term0 = 8 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 distance difference square first-slot term1 := mul(4, 18) 操作後 distance difference square first-slot term1 = 72 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 distance difference square inner sum := sum(8, 72) 操作後 distance difference square inner sum = 80 條件：無 依原題角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及必要條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 induced distance:same-form self-inner-product=80>=0 操作後 nonnegative exact root=sqrt(80);source expression kept unsimplified 條件：無 保留來源sqrt(...)精確字串，即使平方數也不改成整數或小數；負根不是norm或距離，不換到別的內積／norm。 步驟識別與依賴規則：innernorm_exact_root_not_decimal_or_other_metric · 依賴：G001, S022 ## 逐步反向核對 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance difference square inner sum，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance difference square first-slot term1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance difference square first-slot term0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance difference square image coordinate1，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance difference square matrix term1,1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance difference square matrix term1,0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance difference square image coordinate0，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance difference square matrix term0,1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance difference square matrix term0,0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance signed coordinate1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 distance signed coordinate0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent completed-square remainder，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent completed-square slope，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent determinant，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inner parent diagonal product，不以小數近似替代。 ## 結論 ([-3, 2], [-2, -2], [-1, 4], 80, sqrt(80)) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8dc795ac6d104e18829cfcc8fdee9a670dfb3404cb8fb53abaadd4ad833bac19 - candidate record SHA-256: 8ad98cb02fb2a602c7069864d31183b8889f20169afdcaf06ce03c0173a2dc57 - semantic review receipt SHA-256: bfea39236e49aa7e44aa18bfa0d7857ff34a6acb762d0599e20b0f5af0f209ae - question-first witness SHA-256: 61c433f5c1e55ed4d84d08557fb8c117d26bbd404fdf05519ad42c09324c36e0 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261029-r03-inner-product-induced-norm-0040.json)