# 第 15173 題：有限域 [返回所在分頁 76](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/76/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261030-r01-finite-field-foundations/#q-20261014-advance-20261030-r01-finite-field-0048) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0029-15173 · q-20261014-advance-20261030-r01-finite-field-0048 ## 原題與已知條件 完整有限交換環雙表與全部非零逆元。操作=field-inverse；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,4,3,0,2],[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[4,2,0,1,3]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,2,3,4,1],[0,3,4,1,2],[0,4,1,2,3],[0,1,2,3,4]],"element":1}。請依 [element,one,inverse,found] 欄序回答。 - G001 — 完整有限交換環雙表與全部非零逆元。操作=field-inverse；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,4,3,0,2],[2,3,1,4,0],[3,0,4,2,1],[4,2,0,1,3]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,2,3,4,1],[0,3,4,1,2],[0,4,1,2,3],[0,1,2,3,4]],"element":1}。請依 [element,one,inverse,found] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-field](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-field/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 same complete carrier Fin(5);addition=[[0, 1, 2, 3, 4], [1, 4, 3, 0, 2], [2, 3, 1, 4, 0], [3, 0, 4, 2, 1], [4, 2, 0, 1, 3]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0], [0, 2, 3, 4, 1], [0, 3, 4, 1, 2], [0, 4, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4]] 操作後 actual zero=0;one=4;additive inverses=[0, 3, 4, 1, 2];additive commute/associate=[是, 是];multiplicative commute/associate=[是, 是];left/right distributive=[是, 是] 條件：無 即使原始inverse計算器guard較寬，也先獨立核來源英文所宣告的完整交換含一父環，包含所有群／分配公理與不同0、1；不靠名字或只找逆元就跳過。 步驟識別與依賴規則：field_stated_full_commutative_parent_not_raw_oracle_shortcut · 依賴：G001 S002 · implies操作前 element label=0;actual zero=0;one=4;two-sided multiplicative inverse candidates=[] 操作後 selected inverse witness=null;nonzero inverse obligation=否 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 element label=1;actual zero=0;one=4;two-sided multiplicative inverse candidates=[3] 操作後 selected inverse witness=3;nonzero inverse obligation=是 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 element label=2;actual zero=0;one=4;two-sided multiplicative inverse candidates=[2] 操作後 selected inverse witness=2;nonzero inverse obligation=是 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 element label=3;actual zero=0;one=4;two-sided multiplicative inverse candidates=[1] 操作後 selected inverse witness=1;nonzero inverse obligation=是 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 element label=4;actual zero=0;one=4;two-sided multiplicative inverse candidates=[4] 操作後 selected inverse witness=4;nonzero inverse obligation=是 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 qualified field;selected nonzero element=1;actual one=4 操作後 inverse=3;left product=4;right product=4 條件：無 存在性來自完整field資格，回查左右兩乘積皆one；原資料逆元／除法族皆無undefined，不把不存在逆元偽裝成null或給零逆元。 步驟識別與依賴規則：selected_nonzero_field_inverse_not_zero_division · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (1, 4, 3, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: dd29c7e5d9f459fcce6d278347c6d2bfbcd7e181f87e5217512555f78d9d185b - candidate record SHA-256: c48c857bf59c997102bfe981bbcfcec7003bf9b8f804050e19d9f738038315b7 - semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725 - question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261030-r01-finite-field-0048.json)