# 第 15103 題：有限域 [返回所在分頁 76](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/76/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261030-r01-finite-field-foundations/#q-20261014-advance-20261030-r01-finite-field-0053) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0029-15103 · q-20261014-advance-20261030-r01-finite-field-0053 ## 原題與已知條件 完整有限交換環雙表與全部非零逆元。操作=field-division；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,3,4,2,0],[2,4,1,0,3],[3,2,0,4,1],[4,0,3,1,2]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4],[0,2,4,1,3],[0,3,1,4,2],[0,4,3,2,1]],"numerator":2,"denominator":2}。請依 [numerator,denominator,inverse,quotient,check,pass] 欄序回答。 - G001 — 完整有限交換環雙表與全部非零逆元。操作=field-division；資料={"n":5,"addition":[[0,1,2,3,4],[1,3,4,2,0],[2,4,1,0,3],[3,2,0,4,1],[4,0,3,1,2]],"multiplication":[[0,0,0,0,0],[0,1,2,3,4],[0,2,4,1,3],[0,3,1,4,2],[0,4,3,2,1]],"numerator":2,"denominator":2}。請依 [numerator,denominator,inverse,quotient,check,pass] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-field](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-field/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 same complete carrier Fin(5);addition=[[0, 1, 2, 3, 4], [1, 3, 4, 2, 0], [2, 4, 1, 0, 3], [3, 2, 0, 4, 1], [4, 0, 3, 1, 2]];multiplication=[[0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 4, 1, 3], [0, 3, 1, 4, 2], [0, 4, 3, 2, 1]] 操作後 actual zero=0;one=1;additive inverses=[0, 4, 3, 2, 1];additive commute/associate=[是, 是];multiplicative commute/associate=[是, 是];left/right distributive=[是, 是] 條件：無 即使原始inverse計算器guard較寬，也先獨立核來源英文所宣告的完整交換含一父環，包含所有群／分配公理與不同0、1；不靠名字或只找逆元就跳過。 步驟識別與依賴規則：field_stated_full_commutative_parent_not_raw_oracle_shortcut · 依賴：G001 S002 · implies操作前 element label=0;actual zero=0;one=1;two-sided multiplicative inverse candidates=[] 操作後 selected inverse witness=null;nonzero inverse obligation=否 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 element label=1;actual zero=0;one=1;two-sided multiplicative inverse candidates=[1] 操作後 selected inverse witness=1;nonzero inverse obligation=是 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 element label=2;actual zero=0;one=1;two-sided multiplicative inverse candidates=[3] 操作後 selected inverse witness=3;nonzero inverse obligation=是 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 element label=3;actual zero=0;one=1;two-sided multiplicative inverse candidates=[2] 操作後 selected inverse witness=2;nonzero inverse obligation=是 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 element label=4;actual zero=0;one=1;two-sided multiplicative inverse candidates=[4] 操作後 selected inverse witness=4;nonzero inverse obligation=是 條件：無 逐完整載體找兩側皆為實際one的逆元，非零性按實際zero判，不把標籤0自動排除；zero不負擔逆元義務。 步驟識別與依賴規則：field_all_nonzero_inverse_obligations_actual_labels · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 qualified field;raw numerator label=2;nonzero denominator label=2;inverse=3;multiplication row=[0, 2, 4, 1, 3] 操作後 quotient label=1;quotient*denominator=2=numerator 條件：無 按同一乘法表作num乘den逆元，再乘回非零den檢查；分子可為實際零，不用標籤整數除法，也不定義除以零。 步驟識別與依賴規則：field_division_same_table_multiply_back · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2, 2, 3, 1, 2, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: a3214b75322d09eba68c624b47509b781d252bdd1557fa95dff9915e1da387ad - candidate record SHA-256: 41814a279a768cd411ce1fead247c044adf5d9afad66f37e061021bf0cfaaae7 - semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725 - question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261030-r01-finite-field-0053.json)