# 第 15255 題：實Hilbert空間 [返回所在分頁 77](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/77/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-foundations/#q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0005) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0029-15255 · q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0005 ## 原題與已知條件 inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-named-certificate；資料={"dimension":2,"matrix":[[6,1],[1,2]]}。請依 [dimension,matrix,binding,completeness,Hilbert,boundary] 欄序回答。 - G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-named-certificate；資料={"dimension":2,"matrix":[[6,1],[1,2]]}。請依 [dimension,matrix,binding,completeness,Hilbert,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-hilbert-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-hilbert-space/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 Hilbert Gram diagonal product := mul(6, 2) 操作後 Hilbert Gram diagonal product = 12 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Hilbert Gram off-diagonal product := mul(1, 1) 操作後 Hilbert Gram off-diagonal product = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Hilbert Gram determinant := sub(12, 1) 操作後 Hilbert Gram determinant = 11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Hilbert completing-square slope := div(1, 6) 操作後 Hilbert completing-square slope = 1/6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Hilbert completing-square positive residual := div(11, 6) 操作後 Hilbert completing-square positive residual = 11/6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 complete real carrier R^2;Gram matrix=[[6, 1], [1, 2]];a=6>0;det=11>0;dimension declaration=2 操作後 x^T M x=6*(x0+(1/6)*x1)^2+(11/6)*x1^2;zero only at x=0 條件：無 對稱矩陣加正主子式，以配方給所有實向量的正定性，不是只測本題向量。配方的三角變換可逆，故此內積norm與R²座標norm等價；其Cauchy序列座標收斂，極限仍在同一R²。 步驟識別與依賴規則：hilbert_same_complete_matrix_positive_inner_product · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 same R^2 carrier and complete Gram matrix=[[6, 1], [1, 2]];induced norm=sqrt(x^T M x);distance=norm(x-y) 操作後 same_inner_product_norm_metric_carrier;finite_dimensional_complete;no_compactness_or_separability_claim 條件：無 以同一內積產生norm、同一norm產生metric，有限維完備性適用的也是此載體與norm，才得到Hilbert資格。此答案沒有另宣稱緊緻或可分，也不由這些性質取代完備。 步驟識別與依賴規則：hilbert_named_certificate_same_norm_metric_completeness · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。 ## 結論 (2, [[6, 1], [1, 2]], same_inner_product_norm_metric_carrier, finite_dimensional_complete, 是, no_compactness_or_separability_claim) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7e9ea0a708647fb170a58b8608c69734c82fcfc36540034c5a838f36e41c17f2 - candidate record SHA-256: 9c7de11fba521889f31d1f9a6e7c3e5df83f2031f5abedb967152e3e48468d4d - semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725 - question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0005.json)