# 第 15209 題：實Hilbert空間 [返回所在分頁 77](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/77/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-foundations/#q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0034) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0029-15209 · q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0034 ## 原題與已知條件 inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-component-checklist；資料={"dimension":2,"matrix":[[10,2],[2,5]],"norm_source":"same_inner_product","metric_source":"same_norm","completeness_source":"finite_dimensional_theorem"}。請依 [dimension,matrix,norm_source,metric_source,completeness_source,Hilbert] 欄序回答。 - G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-component-checklist；資料={"dimension":2,"matrix":[[10,2],[2,5]],"norm_source":"same_inner_product","metric_source":"same_norm","completeness_source":"finite_dimensional_theorem"}。請依 [dimension,matrix,norm_source,metric_source,completeness_source,Hilbert] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-hilbert-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-hilbert-space/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 Hilbert Gram diagonal product := mul(10, 5) 操作後 Hilbert Gram diagonal product = 50 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Hilbert Gram off-diagonal product := mul(2, 2) 操作後 Hilbert Gram off-diagonal product = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Hilbert Gram determinant := sub(50, 4) 操作後 Hilbert Gram determinant = 46 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Hilbert completing-square slope := div(2, 10) 操作後 Hilbert completing-square slope = 1/5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Hilbert completing-square positive residual := div(46, 10) 操作後 Hilbert completing-square positive residual = 23/5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 complete real carrier R^2;Gram matrix=[[10, 2], [2, 5]];a=10>0;det=46>0;dimension declaration=2 操作後 x^T M x=10*(x0+(1/5)*x1)^2+(23/5)*x1^2;zero only at x=0 條件：無 對稱矩陣加正主子式，以配方給所有實向量的正定性，不是只測本題向量。配方的三角變換可逆，故此內積norm與R²座標norm等價；其Cauchy序列座標收斂，極限仍在同一R²。 步驟識別與依賴規則：hilbert_same_complete_matrix_positive_inner_product · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 complete matrix=[[10, 2], [2, 5]];dimension=2;norm source=same_inner_product;metric source=same_norm;completeness source=finite_dimensional_theorem 操作後 same inner product norm=是;same norm metric=是;same finite-dimensional completeness source=是;all components qualified=是 條件：無 三個來源須同時對應同一結構；任一不符只表示這份checklist未給完整證書，不等於證明底層空間不可能是Hilbert。 步驟識別與依賴規則：hilbert_component_binding_not_name_only · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。 ## 結論 (2, [[10, 2], [2, 5]], same_inner_product, same_norm, finite_dimensional_theorem, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: a4fd8df53955e339aa577fed27eacf44b8fd5b6e309a35241c1c4153ff7ee317 - candidate record SHA-256: 2e59b6ade1c1471476252bce06867dcf34191050b47cf48412ed47501f257119 - semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725 - question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0034.json)