# 第 15231 題：實Hilbert空間 [返回所在分頁 77](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/77/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-foundations/#q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0056) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0029-15231 · q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0056 ## 原題與已知條件 inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[7,2],[2,5]],"left":[-7,-2],"right":[7,2]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。 - G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-distance；資料={"matrix":[[7,2],[2,5]],"left":[-7,-2],"right":[7,2]}。請依 [left,right,difference,distance_square,distance] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-hilbert-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-hilbert-space/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 Hilbert Gram diagonal product := mul(7, 5) 操作後 Hilbert Gram diagonal product = 35 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Hilbert Gram off-diagonal product := mul(2, 2) 操作後 Hilbert Gram off-diagonal product = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Hilbert Gram determinant := sub(35, 4) 操作後 Hilbert Gram determinant = 31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Hilbert completing-square slope := div(2, 7) 操作後 Hilbert completing-square slope = 2/7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Hilbert completing-square positive residual := div(31, 7) 操作後 Hilbert completing-square positive residual = 31/7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 complete real carrier R^2;Gram matrix=[[7, 2], [2, 5]];a=7>0;det=31>0;dimension declaration=2 操作後 x^T M x=7*(x0+(2/7)*x1)^2+(31/7)*x1^2;zero only at x=0 條件：無 對稱矩陣加正主子式，以配方給所有實向量的正定性，不是只測本題向量。配方的三角變換可逆，故此內積norm與R²座標norm等價；其Cauchy序列座標收斂，極限仍在同一R²。 步驟識別與依賴規則：hilbert_same_complete_matrix_positive_inner_product · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Hilbert distance coordinate0 difference := sub(-7, 7) 操作後 Hilbert distance coordinate0 difference = -14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Hilbert distance coordinate1 difference := sub(-2, 2) 操作後 Hilbert distance coordinate1 difference = -4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate := mul(7, -14) 操作後 Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate = -98 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Hilbert distance term(0,0) := mul(-98, -14) 操作後 Hilbert distance term(0,0) = 1372 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate := mul(2, -14) 操作後 Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate = -28 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Hilbert distance term(0,1) := mul(-28, -4) 操作後 Hilbert distance term(0,1) = 112 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate := mul(2, -4) 操作後 Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate = -8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Hilbert distance term(1,0) := mul(-8, -14) 操作後 Hilbert distance term(1,0) = 112 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate := mul(5, -4) 操作後 Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate = -20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Hilbert distance term(1,1) := mul(-20, -4) 操作後 Hilbert distance term(1,1) = 80 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Hilbert distance complete bilinear sum := sum(1372, 112, 112, 80) 操作後 Hilbert distance complete bilinear sum = 1676 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 left=[-7, -2];right=[7, 2];same induced metric on R^2;squared norm=1676 操作後 distance=sqrt(1676) 條件：無 先逐座標相減，再完整展開同一Gram二次型，最後取非負平方根；保留來源sqrt字串，不擅自換成歐氏距離或簡化格式。 步驟識別與依賴規則：hilbert_distance_nonnegative_root_same_metric · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance complete bilinear sum，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,1)，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(1,0)，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(1,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,1)，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance term(0,0)，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coefficient(0,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate1 difference，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert distance coordinate0 difference，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。 ## 結論 ([-7, -2], [7, 2], [-14, -4], 1676, sqrt(1676)) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 34fa0f6b8f836bdc643051f691894c6afa9f9d1dd0da405f1b75f1c4a01d2474 - candidate record SHA-256: 13e996c2938140e127726ddb72f6b7643e835bb4eb376309e12e38cd9895fab8 - semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725 - question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0056.json)