# 第 15289 題：實Hilbert空間 [返回所在分頁 77](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/77/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-foundations/#q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0089) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0029-15289 · q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0089 ## 原題與已知條件 inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-pythagorean；資料={"matrix":[[15,1],[1,2]],"x":[1,1],"y":[1,-15]}。請依 [x,y,inner,lhs,rhs,result] 欄序回答。 - G001 — inner product norm metric carrier completeness綁同一空間。操作=hilbert-pythagorean；資料={"matrix":[[15,1],[1,2]],"x":[1,1],"y":[1,-15]}。請依 [x,y,inner,lhs,rhs,result] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-real-hilbert-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-real-hilbert-space/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 Hilbert Gram diagonal product := mul(15, 2) 操作後 Hilbert Gram diagonal product = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Hilbert Gram off-diagonal product := mul(1, 1) 操作後 Hilbert Gram off-diagonal product = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Hilbert Gram determinant := sub(30, 1) 操作後 Hilbert Gram determinant = 29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Hilbert completing-square slope := div(1, 15) 操作後 Hilbert completing-square slope = 1/15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Hilbert completing-square positive residual := div(29, 15) 操作後 Hilbert completing-square positive residual = 29/15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 complete real carrier R^2;Gram matrix=[[15, 1], [1, 2]];a=15>0;det=29>0;dimension declaration=2 操作後 x^T M x=15*(x0+(1/15)*x1)^2+(29/15)*x1^2;zero only at x=0 條件：無 對稱矩陣加正主子式，以配方給所有實向量的正定性，不是只測本題向量。配方的三角變換可逆，故此內積norm與R²座標norm等價；其Cauchy序列座標收斂，極限仍在同一R²。 步驟識別與依賴規則：hilbert_same_complete_matrix_positive_inner_product · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Hilbert cross inner product coefficient(0,0) times left coordinate := mul(15, 1) 操作後 Hilbert cross inner product coefficient(0,0) times left coordinate = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Hilbert cross inner product term(0,0) := mul(15, 1) 操作後 Hilbert cross inner product term(0,0) = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Hilbert cross inner product coefficient(0,1) times left coordinate := mul(1, 1) 操作後 Hilbert cross inner product coefficient(0,1) times left coordinate = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Hilbert cross inner product term(0,1) := mul(1, -15) 操作後 Hilbert cross inner product term(0,1) = -15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Hilbert cross inner product coefficient(1,0) times left coordinate := mul(1, 1) 操作後 Hilbert cross inner product coefficient(1,0) times left coordinate = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Hilbert cross inner product term(1,0) := mul(1, 1) 操作後 Hilbert cross inner product term(1,0) = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Hilbert cross inner product coefficient(1,1) times left coordinate := mul(2, 1) 操作後 Hilbert cross inner product coefficient(1,1) times left coordinate = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Hilbert cross inner product term(1,1) := mul(2, -15) 操作後 Hilbert cross inner product term(1,1) = -30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Hilbert cross inner product complete bilinear sum := sum(15, -15, 1, -30) 操作後 Hilbert cross inner product complete bilinear sum = -29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Hilbert vector sum coordinate0 := sum(1, 1) 操作後 Hilbert vector sum coordinate0 = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Hilbert vector sum coordinate1 := sum(1, -15) 操作後 Hilbert vector sum coordinate1 = -14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Hilbert norm square of sum coefficient(0,0) times left coordinate := mul(15, 2) 操作後 Hilbert norm square of sum coefficient(0,0) times left coordinate = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Hilbert norm square of sum term(0,0) := mul(30, 2) 操作後 Hilbert norm square of sum term(0,0) = 60 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Hilbert norm square of sum coefficient(0,1) times left coordinate := mul(1, 2) 操作後 Hilbert norm square of sum coefficient(0,1) times left coordinate = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Hilbert norm square of sum term(0,1) := mul(2, -14) 操作後 Hilbert norm square of sum term(0,1) = -28 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Hilbert norm square of sum coefficient(1,0) times left coordinate := mul(1, -14) 操作後 Hilbert norm square of sum coefficient(1,0) times left coordinate = -14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Hilbert norm square of sum term(1,0) := mul(-14, 2) 操作後 Hilbert norm square of sum term(1,0) = -28 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Hilbert norm square of sum coefficient(1,1) times left coordinate := mul(2, -14) 操作後 Hilbert norm square of sum coefficient(1,1) times left coordinate = -28 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Hilbert norm square of sum term(1,1) := mul(-28, -14) 操作後 Hilbert norm square of sum term(1,1) = 392 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Hilbert norm square of sum complete bilinear sum := sum(60, -28, -28, 392) 操作後 Hilbert norm square of sum complete bilinear sum = 396 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Hilbert first norm square coefficient(0,0) times left coordinate := mul(15, 1) 操作後 Hilbert first norm square coefficient(0,0) times left coordinate = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Hilbert first norm square term(0,0) := mul(15, 1) 操作後 Hilbert first norm square term(0,0) = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Hilbert first norm square coefficient(0,1) times left coordinate := mul(1, 1) 操作後 Hilbert first norm square coefficient(0,1) times left coordinate = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Hilbert first norm square term(0,1) := mul(1, 1) 操作後 Hilbert first norm square term(0,1) = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Hilbert first norm square coefficient(1,0) times left coordinate := mul(1, 1) 操作後 Hilbert first norm square coefficient(1,0) times left coordinate = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Hilbert first norm square term(1,0) := mul(1, 1) 操作後 Hilbert first norm square term(1,0) = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Hilbert first norm square coefficient(1,1) times left coordinate := mul(2, 1) 操作後 Hilbert first norm square coefficient(1,1) times left coordinate = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Hilbert first norm square term(1,1) := mul(2, 1) 操作後 Hilbert first norm square term(1,1) = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Hilbert first norm square complete bilinear sum := sum(15, 1, 1, 2) 操作後 Hilbert first norm square complete bilinear sum = 19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Hilbert second norm square coefficient(0,0) times left coordinate := mul(15, 1) 操作後 Hilbert second norm square coefficient(0,0) times left coordinate = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Hilbert second norm square term(0,0) := mul(15, 1) 操作後 Hilbert second norm square term(0,0) = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Hilbert second norm square coefficient(0,1) times left coordinate := mul(1, 1) 操作後 Hilbert second norm square coefficient(0,1) times left coordinate = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Hilbert second norm square term(0,1) := mul(1, -15) 操作後 Hilbert second norm square term(0,1) = -15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Hilbert second norm square coefficient(1,0) times left coordinate := mul(1, -15) 操作後 Hilbert second norm square coefficient(1,0) times left coordinate = -15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Hilbert second norm square term(1,0) := mul(-15, 1) 操作後 Hilbert second norm square term(1,0) = -15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Hilbert second norm square coefficient(1,1) times left coordinate := mul(2, -15) 操作後 Hilbert second norm square coefficient(1,1) times left coordinate = -30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Hilbert second norm square term(1,1) := mul(-30, -15) 操作後 Hilbert second norm square term(1,1) = 450 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Hilbert second norm square complete bilinear sum := sum(15, -15, -15, 450) 操作後 Hilbert second norm square complete bilinear sum = 435 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Hilbert sum of separate norm squares := sum(19, 435) 操作後 Hilbert sum of separate norm squares = 454 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Hilbert cross term twice inner product := mul(2, -29) 操作後 Hilbert cross term twice inner product = -58 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Hilbert expanded square including cross term := sum(454, -58) 操作後 Hilbert expanded square including cross term = 396 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 same inner product=-29;norm square of sum=396;separate squares sum=454;twice cross term=-58 操作後 bilinear expansion=396;orthogonality premise=否;Pythagorean conclusion status=orthogonality_premise_false 條件：無 恆等式是||x+y||²=||x||²+2〈x,y〉+||y||²；只有內積為零才刪交叉項。非零時回報前提不符，不把它說成畢氏定理反例。 步驟識別與依賴規則：hilbert_pythagorean_requires_orthogonality_not_counterexample · 依賴：G001, S047 ## 逐步反向核對 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert expanded square including cross term，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross term twice inner product，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert sum of separate norm squares，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert second norm square complete bilinear sum，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert second norm square term(1,1)，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert second norm square coefficient(1,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert second norm square term(1,0)，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert second norm square coefficient(1,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert second norm square term(0,1)，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert second norm square coefficient(0,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert second norm square term(0,0)，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert second norm square coefficient(0,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert first norm square complete bilinear sum，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert first norm square term(1,1)，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert first norm square coefficient(1,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert first norm square term(1,0)，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert first norm square coefficient(1,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert first norm square term(0,1)，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert first norm square coefficient(0,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert first norm square term(0,0)，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert first norm square coefficient(0,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert norm square of sum complete bilinear sum，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert norm square of sum term(1,1)，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert norm square of sum coefficient(1,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert norm square of sum term(1,0)，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert norm square of sum coefficient(1,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert norm square of sum term(0,1)，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert norm square of sum coefficient(0,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert norm square of sum term(0,0)，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert norm square of sum coefficient(0,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert vector sum coordinate1，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert vector sum coordinate0，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross inner product complete bilinear sum，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross inner product term(1,1)，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross inner product coefficient(1,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross inner product term(1,0)，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross inner product coefficient(1,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross inner product term(0,1)，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross inner product coefficient(0,1) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross inner product term(0,0)，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert cross inner product coefficient(0,0) times left coordinate，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square positive residual，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert completing-square slope，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram determinant，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Hilbert Gram diagonal product，不以小數近似替代。 ## 結論 ([1, 1], [1, -15], -29, 396, 454, orthogonality_premise_false) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0ce3849fbb92a6fd3e4a2ee607ad7213f99ff6d72bfc2fa8887539fa3f26529e - candidate record SHA-256: 793bd6d863020b0997a728375cc05ba7f95d517a82a8bba687df74498ca40c4a - semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725 - question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261030-r02-real-hilbert-space-0089.json)