# 第 15365 題：有限Martingale [返回所在分頁 77](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/77/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261030-r03-martingale-foundations/#q-20261014-advance-20261030-r03-martingale-0090) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0029-15365 · q-20261014-advance-20261030-r03-martingale-0090 ## 原題與已知條件 同一有限probability space filtration與process。操作=martingale-expectation-invariant；資料={"masses":[[1,4],[1,4],[1,4],[1,4]],"partitions":[[0,0,0,0],[0,0,1,1]],"process_values":[[2,2,2,2],[2,2,2,2]]}。請依 [expectations,invariant,boundary] 欄序回答。 - G001 — 同一有限probability space filtration與process。操作=martingale-expectation-invariant；資料={"masses":[[1,4],[1,4],[1,4],[1,4]],"partitions":[[0,0,0,0],[0,0,1,1]],"process_values":[[2,2,2,2],[2,2,2,2]]}。請依 [expectations,invariant,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-martingale](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-martingale/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 martingale full probability mass := sum(1/4, 1/4, 1/4, 1/4) 操作後 martingale full probability mass = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · implies操作前 same finite probability carrier size=4;exact masses=[1/4, 1/4, 1/4, 1/4];partitions in time order=[[0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 1]] 操作後 total mass=1;all later-equal pairs with earlier-different labels=[] 條件：無 後時刻每個分塊必包含在前時刻一個分塊內；逐對檢查，不能以分塊數增多代替嵌套。機率非負且總和1是原英文概率律前提，沒有用原oracle寬guard接受負機率。 步驟識別與依賴規則：martingale_filtration_refinement_all_outcome_pairs · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 time=0;block label=0;indices=[0, 1, 2, 3];current values in original order=[2, 2, 2, 2] 操作後 distinct current values first-encounter order=[2];constant on block=是 條件：無 有限分塊可測性要求同塊當期值相同；按首次出現順序列distinct值，零機率原子也不從這份實際版本的適應性檢查刪掉。 步驟識別與依賴規則：martingale_adaptedness_current_time_including_null_atoms · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 time=1;block label=0;indices=[0, 1];current values in original order=[2, 2] 操作後 distinct current values first-encounter order=[2];constant on block=是 條件：無 有限分塊可測性要求同塊當期值相同；按首次出現順序列distinct值，零機率原子也不從這份實際版本的適應性檢查刪掉。 步驟識別與依賴規則：martingale_adaptedness_current_time_including_null_atoms · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 time=1;block label=1;indices=[2, 3];current values in original order=[2, 2] 操作後 distinct current values first-encounter order=[2];constant on block=是 條件：無 有限分塊可測性要求同塊當期值相同；按首次出現順序列distinct值，零機率原子也不從這份實際版本的適應性檢查刪掉。 步驟識別與依賴規則：martingale_adaptedness_current_time_including_null_atoms · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 martingale time0 block0 mass := sum(1/4, 1/4, 1/4, 1/4) 操作後 martingale time0 block0 mass = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 martingale time0 block0 next weighted outcome0 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale time0 block0 next weighted outcome0 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 martingale time0 block0 next weighted outcome1 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale time0 block0 next weighted outcome1 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 martingale time0 block0 next weighted outcome2 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale time0 block0 next weighted outcome2 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 martingale time0 block0 next weighted outcome3 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale time0 block0 next weighted outcome3 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 martingale time0 block0 next weighted sum := sum(1/2, 1/2, 1/2, 1/2) 操作後 martingale time0 block0 next weighted sum = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 martingale time0 block0 next conditional mean := div(2, 1) 操作後 martingale time0 block0 next conditional mean = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 time=0;block label=0;current distinct values=[2];next weighted sum=2;positive block mass=1 操作後 conditional mean=2;conditional step row=[0, 0, 2, [2], 是] 條件：無 先加權下一時刻值，再除當期分塊機率，最後與當期常值比較；不能拿下一時刻常值或全域期望偷換條件期望。當期非常值時此步也不給真。 步驟識別與依賴規則：martingale_next_time_conditional_mean_equals_current_not_next_value · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 martingale expectation time0 weighted outcome0 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale expectation time0 weighted outcome0 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 martingale expectation time0 weighted outcome1 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale expectation time0 weighted outcome1 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 martingale expectation time0 weighted outcome2 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale expectation time0 weighted outcome2 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 martingale expectation time0 weighted outcome3 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale expectation time0 weighted outcome3 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 martingale expectation time0 full sum := sum(1/2, 1/2, 1/2, 1/2) 操作後 martingale expectation time0 full sum = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 martingale expectation time1 weighted outcome0 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale expectation time1 weighted outcome0 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 martingale expectation time1 weighted outcome1 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale expectation time1 weighted outcome1 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 martingale expectation time1 weighted outcome2 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale expectation time1 weighted outcome2 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 martingale expectation time1 weighted outcome3 := mul(1/4, 2) 操作後 martingale expectation time1 weighted outcome3 = 1/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 martingale expectation time1 full sum := sum(1/2, 1/2, 1/2, 1/2) 操作後 martingale expectation time1 full sum = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算；保留分母、嚴格條件、索引及正負號。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 unconditional exact expectations in original time order=[2, 2];full conditional rows=[[0, 0, 2, [2], 是]] 操作後 expectation invariant=是;expectation_invariance_is_consequence_not_definition 條件：無 鞅由塔性質推出期望不變，反向不成立；必須另外有嵌套、適應性和每個條件等式。空時序也不虛構一個共同期望值；依來源原協定invariant為否。 步驟識別與依賴規則：martingale_constant_expectation_not_sufficient_definition · 依賴：G001, S023 ## 逐步反向核對 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time1 full sum，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time1 weighted outcome3，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time1 weighted outcome2，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time1 weighted outcome1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time1 weighted outcome0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time0 full sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time0 weighted outcome3，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time0 weighted outcome2，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time0 weighted outcome1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale expectation time0 weighted outcome0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale time0 block0 next conditional mean，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale time0 block0 next weighted sum，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale time0 block0 next weighted outcome3，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale time0 block0 next weighted outcome2，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale time0 block0 next weighted outcome1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale time0 block0 next weighted outcome0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale time0 block0 mass，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 martingale full probability mass，不以小數近似替代。 ## 結論 ([2, 2], 是, expectation_invariance_is_consequence_not_definition) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 898dd4ba8311b8ed4cb6e0daed9e42b8d4d41c588ed98262bed08cb6f445f5a6 - candidate record SHA-256: 2b35f0885d40907bd123e0d598c09d994413bd5ae0617016710aef49dd534389 - semantic review receipt SHA-256: 8c0ef6ca8c5ba2754e41f30c2b32bcb757756152d97421f7396d39038c11f725 - question-first witness SHA-256: c7920a0ff8e724b7e566ebbda30b31d8087c136974b62f8c760fbd26ab816117 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261030-r03-martingale-0090.json)