# 第 15861 題：至多可數集

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0030-15861 · q-20261014-advance-20261031-r01-at-most-countable-set-0061



## 原題與已知條件

有限完整清單或明示全稱注入證書。操作=countable-enumeration；資料={"elements":[10,60,-11],"index":1}。請依 [index,element,enumeration_pairs,certificate] 欄序回答。


- G001 — 有限完整清單或明示全稱注入證書。操作=countable-enumeration；資料={"elements":[10,60,-11],"index":1}。請依 [index,element,enumeration_pairs,certificate] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-at-most-countable-set](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-at-most-countable-set/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

DECLARED complete finite integer set in original list order=[10, 60, -11];length=3

操作後

nonempty duplicate-free registered family;original order retained;empty-set countability not denied

條件：無

清單的完整性是題目明示集合前提，不從有限樣本推未知全集；不排序、不刪重複。此題族拒絕空表只是介面限制，空集仍至多可數。

步驟識別與依賴規則：countable_complete_finite_list_premise_not_sampled_subset · 依賴：G001





S002 · implies操作前

complete original ordered enumeration=[10, 60, -11];selected zero-based index=1

操作後

selected element=60;position_to_element pairs=[[0, 10], [1, 60], [2, -11]]

條件：無

依原位置讀元素，列完整位置到元素的方向；這個有限enumeration證明有限而至多可數，不把有限個元素稱可數無限。

步驟識別與依賴規則：finite_countable_enumeration_order_not_injection_reversal · 依賴：G001, S001









## 逐步反向核對


- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(1, 60, [[0, 10], [1, 60], [2, -11]], finite_enumeration_complete)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 1fb92d78d216f2be2fdf0236452f8ea96289adb64ceb9aa60a9bb42b25f70948
- candidate record SHA-256: fa84b468b440b940f5f3ff4e5066698a6dd8bff41850b4a17351b6eb7b1221d4
- semantic review receipt SHA-256: 73bc08066ffb1a81eacb2d4e288d03f522aeefd3949fa0d97da41b484ed737bc
- question-first witness SHA-256: ac120452a208b257b8270f38351a09dcd832cdbc8d9db6b69933f83e43cc9336
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261031-r01-at-most-countable-set-0061.json)