# 第 15777 題：依分布收斂

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0030-15777 · q-20261014-advance-20261031-r03-convergence-in-distribution-0027



## 原題與已知條件

Bernoulli symbolic tail與極限CDF。操作=convdist-pointwise-gap；資料={"p":[1,2],"c":[2,20],"shift":3,"n":2,"threshold":[1,2]}。請依 [n,threshold,absolute_gap,limit_CDF_continuity_point,symbolic_certificate] 欄序回答。


- G001 — Bernoulli symbolic tail與極限CDF。操作=convdist-pointwise-gap；資料={"p":[1,2],"c":[2,20],"shift":3,"n":2,"threshold":[1,2]}。請依 [n,threshold,absolute_gap,limit_CDF_continuity_point,symbolic_certificate] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-convergence-in-distribution](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-convergence-in-distribution/)





## 逐步推導

S001 · calculation操作前

interior Bernoulli limit mass at0 := sub(1, 1/2)

操作後

interior Bernoulli limit mass at0 = 1/2

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001





S002 · implies操作前

original limit parameter=[1, 2];reduced p=1/2;mass at0=1/2;mass at1=1/2

操作後

both endpoint masses positive;only limit-CDF jumps at0 and1;registered interior projection

條件：無

先遵守原英文0<p<1限制；因此0與1的跳躍都真有正質量。原始oracle雖允許端點p，也不把退化分佈套進這個連續點協定；它們須另行分析。

步驟識別與依賴規則：Bernoulli_interior_English_guard_not_degenerate_jump_set · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

Bernoulli first legal tail denominator := sum(1, 3)

操作後

Bernoulli first legal tail denominator = 4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

Bernoulli first tail signed correction := div(1/10, 4)

操作後

Bernoulli first tail signed correction = 1/40

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

Bernoulli first legal parameter := sum(1/2, 1/40)

操作後

Bernoulli first legal parameter = 21/40

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

declared all-n family p_n=1/2+(1/10)/(n+3);n>=1;first parameter=21/40;limit=1/2

操作後

for every n>=1,lambda=(1+3)/(n+3) in(0,1];p_n=(1-lambda)*1/2+lambda*(21/40) in[0,1]

條件：無

c可正、負或0。任意n的參數是首合法參數與極限的凸組合，所以首項與極限的機率域保證所有尾項有效；不是只看本題一個n便斷定全部有效。此分佈族不要求選同一coupling。

步驟識別與依賴規則：Bernoulli_whole_signed_parameter_tail_convex_combination · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Bernoulli selected tail denominator := sum(2, 3)

操作後

Bernoulli selected tail denominator = 5

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

Bernoulli selected signed correction := div(1/10, 5)

操作後

Bernoulli selected signed correction = 1/50

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Bernoulli selected exact parameter := sum(1/2, 1/50)

操作後

Bernoulli selected exact parameter = 13/25

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

selected distribution one minus Bernoulli parameter := sub(1, 13/25)

操作後

selected distribution one minus Bernoulli parameter = 12/25

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

selected distribution:Bernoulli parameter=13/25;same exact threshold=1/2;CDF branch=0<=t<1

操作後

selected distribution exact CDF value=12/25

條件：無

CDF為P(X≤t)，所以0點納入質量1−p，1點已納入全部質量。上下兩CDF用同一門檻分支，不把連續點旗標與當下兩值是否相等混同。

步驟識別與依賴規則：Bernoulli_CDF_same_threshold_including_endpoints · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

limiting distribution one minus Bernoulli parameter := sub(1, 1/2)

操作後

limiting distribution one minus Bernoulli parameter = 1/2

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

limiting distribution:Bernoulli parameter=1/2;same exact threshold=1/2;CDF branch=0<=t<1

操作後

limiting distribution exact CDF value=1/2

條件：無

CDF為P(X≤t)，所以0點納入質量1−p，1點已納入全部質量。上下兩CDF用同一門檻分支，不把連續點旗標與當下兩值是否相等混同。

步驟識別與依賴規則：Bernoulli_CDF_same_threshold_including_endpoints · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

Bernoulli selected signed CDF difference := sub(12/25, 1/2)

操作後

Bernoulli selected signed CDF difference = -1/50

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

Bernoulli negative CDF difference absolute value := mul(-1, -1/50)

操作後

Bernoulli negative CDF difference absolute value = 1/50

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

selected signed CDF difference=-1/50;same threshold=1/2

操作後

exact absolute gap=1/50;limit CDF continuity point=是

條件：無

差值為負時乘−1，為非負則保留，不能把帶符號差當絕對誤差。跳點即使這族也可能收斂，定義只是不強制。

步驟識別與依賴規則：convdist_exact_absolute_gap_not_signed_difference · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

declared all-n parameters p_n=1/2+(1/10)/(n+3);same complete Bernoulli CDF formula

操作後

for every real t,gap=abs(1/10)/(n+3) on0<=t<1,and0 outside;for every epsilon>0 choose integer N>=1 with N+3>abs(1/10)/epsilon;then all n>=N give gap<epsilon

條件：無

在[0,1)兩CDF相減只剩−c/(n+s)，其他區間皆0。對任意epsilon用阿基米德性選上述N便得到所有後續n的界，故每個必需連續點都收斂；這用的是明示全尾式，不是樣本猜測。不引入coupling或較強收斂。

步驟識別與依賴規則：convdist_symbolic_all_n_tail_not_finite_sample_extrapolation · 依賴：G001, S016









## 逐步反向核對


- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bernoulli negative CDF difference absolute value，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bernoulli selected signed CDF difference，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 limiting distribution one minus Bernoulli parameter，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected distribution one minus Bernoulli parameter，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bernoulli selected exact parameter，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bernoulli selected signed correction，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bernoulli selected tail denominator，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bernoulli first legal parameter，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bernoulli first tail signed correction，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bernoulli first legal tail denominator，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 interior Bernoulli limit mass at0，不以小數近似替代。





## 結論

(2, 1/2, 1/50, 是, gap_tends_to_zero_at_every_limit_CDF_continuity_point)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 0dd5985cdf6bc02b18a44cbf978b9e3e243e6226c3fe6fd79a71c86f51aabb1a
- candidate record SHA-256: 3800531bad30183a99c688a5f822eba6a224a4d11756805b38d9731d84ba27a7
- semantic review receipt SHA-256: 73bc08066ffb1a81eacb2d4e288d03f522aeefd3949fa0d97da41b484ed737bc
- question-first witness SHA-256: ac120452a208b257b8270f38351a09dcd832cdbc8d9db6b69933f83e43cc9336
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261031-r03-convergence-in-distribution-0027.json)