# 第 15942 題：有限商環

[返回所在分頁 80](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/80/)

[← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261031-r04-finite-quotient-ring-foundations/#q-20261014-advance-20261031-r04-finite-quotient-ring-0017)

本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0030-15942 · q-20261014-advance-20261031-r04-finite-quotient-ring-0017



## 原題與已知條件

Z_n與proper雙邊理想的全部加法cosets。操作=quotring-classes；資料={"n":15,"d":3}。請依 [ideal,cosets,quotient_size,certificate] 欄序回答。


- G001 — Z_n與proper雙邊理想的全部加法cosets。操作=quotring-classes；資料={"n":15,"d":3}。請依 [ideal,cosets,quotient_size,certificate] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-finite-quotient-ring](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-quotient-ring/)





## 逐步推導

S001 · calculation操作前

quotient ring parent modulus divided by ideal generator := div(15, 3)

操作後

quotient ring parent modulus divided by ideal generator = 5

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001





S002 · implies操作前

same declared parent Z_15;generator d=3;n/d=5;ideal multiples=[0, 3, 6, 9, 12]

操作後

I=kernel of residue map Z_15 to Z_3;proper two-sided ideal=是;zero ideal allowed when d=n

條件：無

因d整除n，整數代表改加n仍不改mod d，π:Z_n→Z_d良定且保加乘。核I由d倍數組成，加法差封閉且左右乘任意母環元素仍在I。d≥2使1不在I，故proper；d=n可得零理想，不把它排除。

步驟識別與依賴規則：quotient_ring_actual_parent_proper_two_sided_ideal · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

complete parent residues=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14];same ideal I=[0, 3, 6, 9, 12]

操作後

all additive cosets in representative order0..d-1=[[0, 3, 6, 9, 12], [1, 4, 7, 10, 13], [2, 5, 8, 11, 14]];quotient size=3;no field conclusion

條件：無

每個加法coset列全體同餘mod d的母環元素，按代表0..d−1排序；它們互斥且覆蓋Z_n。商元素是整類，輸出class標籤只是索引，不因有限商環就宣稱域。

步驟識別與依賴規則：quotient_ring_full_cosets_not_representative_carrier · 依賴：G001, S002









## 逐步反向核對


- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ring parent modulus divided by ideal generator，不以小數近似替代。





## 結論

([0, 3, 6, 9, 12], [[0, 3, 6, 9, 12], [1, 4, 7, 10, 13], [2, 5, 8, 11, 14]], 3, proper_two_sided_ideal_in_commutative_Zn)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: fb37d19b46e3cecd652a6b7596dc9d344e424a2ac5e33d042d06f2a103faca87
- candidate record SHA-256: b9db4f287c5e69a9f5193c9d8497f9c4c3ccb9d5e97c565bf56058ee2aa6bbaa
- semantic review receipt SHA-256: 73bc08066ffb1a81eacb2d4e288d03f522aeefd3949fa0d97da41b484ed737bc
- question-first witness SHA-256: ac120452a208b257b8270f38351a09dcd832cdbc8d9db6b69933f83e43cc9336
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261031-r04-finite-quotient-ring-0017.json)