# 第 15965 題：有限商環

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0030-15965 · q-20261014-advance-20261031-r04-finite-quotient-ring-0065



## 原題與已知條件

Z_n與proper雙邊理想的全部加法cosets。操作=quotring-multiply；資料={"n":24,"d":6,"a":14,"b":5}。請依 [class_a,class_b,parent_result,result_class,law] 欄序回答。


- G001 — Z_n與proper雙邊理想的全部加法cosets。操作=quotring-multiply；資料={"n":24,"d":6,"a":14,"b":5}。請依 [class_a,class_b,parent_result,result_class,law] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-finite-quotient-ring](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-quotient-ring/)





## 逐步推導

S001 · calculation操作前

quotient ring parent modulus divided by ideal generator := div(24, 6)

操作後

quotient ring parent modulus divided by ideal generator = 4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001





S002 · implies操作前

same declared parent Z_24;generator d=6;n/d=4;ideal multiples=[0, 6, 12, 18]

操作後

I=kernel of residue map Z_24 to Z_6;proper two-sided ideal=是;zero ideal allowed when d=n

條件：無

因d整除n，整數代表改加n仍不改mod d，π:Z_n→Z_d良定且保加乘。核I由d倍數組成，加法差封閉且左右乘任意母環元素仍在I。d≥2使1不在I，故proper；d=n可得零理想，不把它排除。

步驟識別與依賴規則：quotient_ring_actual_parent_proper_two_sided_ideal · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

complete parent residues=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23];same ideal I=[0, 6, 12, 18]

操作後

all additive cosets in representative order0..d-1=[[0, 6, 12, 18], [1, 7, 13, 19], [2, 8, 14, 20], [3, 9, 15, 21], [4, 10, 16, 22], [5, 11, 17, 23]];quotient size=6;no field conclusion

條件：無

每個加法coset列全體同餘mod d的母環元素，按代表0..d−1排序；它們互斥且覆蓋Z_n。商元素是整類，輸出class標籤只是索引，不因有限商環就宣稱域。

步驟識別與依賴規則：quotient_ring_full_cosets_not_representative_carrier · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

first input coset exact quotient fraction := div(14, 6)

操作後

first input coset exact quotient fraction = 7/3

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

first input coset:integer value=14;positive modulus=6;exact ratio=7/3

操作後

floor quotient=2;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

first input coset quotient multiple := mul(2, 6)

操作後

first input coset quotient multiple = 12

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

first input coset canonical nonnegative residue := sub(14, 12)

操作後

first input coset canonical nonnegative residue = 2

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

second input coset exact quotient fraction := div(5, 6)

操作後

second input coset exact quotient fraction = 5/6

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

second input coset:integer value=5;positive modulus=6;exact ratio=5/6

操作後

floor quotient=0;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

second input coset quotient multiple := mul(0, 6)

操作後

second input coset quotient multiple = 0

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

second input coset canonical nonnegative residue := sub(5, 0)

操作後

second input coset canonical nonnegative residue = 5

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

selected quotient operation integer multiplication := mul(14, 5)

操作後

selected quotient operation integer multiplication = 70

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

selected quotient operation parent mod n exact quotient fraction := div(70, 24)

操作後

selected quotient operation parent mod n exact quotient fraction = 35/12

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

selected quotient operation parent mod n:integer value=70;positive modulus=24;exact ratio=35/12

操作後

floor quotient=2;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

selected quotient operation parent mod n quotient multiple := mul(2, 24)

操作後

selected quotient operation parent mod n quotient multiple = 48

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

selected quotient operation parent mod n canonical nonnegative residue := sub(70, 48)

操作後

selected quotient operation parent mod n canonical nonnegative residue = 22

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

selected quotient operation quotient class mod d exact quotient fraction := div(22, 6)

操作後

selected quotient operation quotient class mod d exact quotient fraction = 11/3

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

selected quotient operation quotient class mod d:integer value=22;positive modulus=6;exact ratio=11/3

操作後

floor quotient=3;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

selected quotient operation quotient class mod d quotient multiple := mul(3, 6)

操作後

selected quotient operation quotient class mod d quotient multiple = 18

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

selected quotient operation quotient class mod d canonical nonnegative residue := sub(22, 18)

操作後

selected quotient operation quotient class mod d canonical nonnegative residue = 4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

selected quotient operation:original parent representatives=[14, 5];integer result=70;parent modulus=24

操作後

parent result=22;quotient class label=4;class modulus=6

條件：無

先在指定母環mod n運算，再取mod d的商類；兩層欄位可能不同，不可跳成同一個餘數，也不能把標籤當商元素全體內容。

步驟識別與依賴規則：quotient_operation_parent_result_separate_from_class · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

same parent Z_24;same proper two-sided ideal I=[0, 6, 12, 18];input class labels=[2, 5]

操作後

quotient operation law=[a][b]=[ab];result class label=4

條件：無

加法陪集來自加法子群；乘法亦須兩側理想吸收才能與代表無關。本題在已核同一理想下用這條法則，不由任意商集合自動引入運算。

步驟識別與依賴規則：quotient_ring_operation_uses_ideal_not_arbitrary_equivalence · 依賴：G001, S021









## 逐步反向核對


- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected quotient operation quotient class mod d canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected quotient operation quotient class mod d quotient multiple，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected quotient operation quotient class mod d exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected quotient operation parent mod n canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected quotient operation parent mod n quotient multiple，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected quotient operation parent mod n exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected quotient operation integer multiplication，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second input coset canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second input coset quotient multiple，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second input coset exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first input coset canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first input coset quotient multiple，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first input coset exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ring parent modulus divided by ideal generator，不以小數近似替代。





## 結論

(2, 5, 22, 4, [a][b]=[ab])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 4031312fdaf1aba459155cae811e87ddfdff3cf7144f349c015cd9131afa11c3
- candidate record SHA-256: 709e4971268a38e9099feb3860db5787219eb2712c8403c4ea8436b0952f9da3
- semantic review receipt SHA-256: 73bc08066ffb1a81eacb2d4e288d03f522aeefd3949fa0d97da41b484ed737bc
- question-first witness SHA-256: ac120452a208b257b8270f38351a09dcd832cdbc8d9db6b69933f83e43cc9336
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261031-r04-finite-quotient-ring-0065.json)