# 第 15993 題：有限商環

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0030-15993 · q-20261014-advance-20261031-r04-finite-quotient-ring-0093



## 原題與已知條件

Z_n與proper雙邊理想的全部加法cosets。操作=quotring-well-defined；資料={"n":20,"d":4,"a":1,"b":3,"a_prime":5,"b_prime":7}。請依 [representatives,addition_classes,multiplication_classes,addition_well_defined,multiplication_well_defined,quotient_operations_well_defined] 欄序回答。


- G001 — Z_n與proper雙邊理想的全部加法cosets。操作=quotring-well-defined；資料={"n":20,"d":4,"a":1,"b":3,"a_prime":5,"b_prime":7}。請依 [representatives,addition_classes,multiplication_classes,addition_well_defined,multiplication_well_defined,quotient_operations_well_defined] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-finite-quotient-ring](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-quotient-ring/)





## 逐步推導

S001 · calculation操作前

quotient ring parent modulus divided by ideal generator := div(20, 4)

操作後

quotient ring parent modulus divided by ideal generator = 5

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001





S002 · implies操作前

same declared parent Z_20;generator d=4;n/d=5;ideal multiples=[0, 4, 8, 12, 16]

操作後

I=kernel of residue map Z_20 to Z_4;proper two-sided ideal=是;zero ideal allowed when d=n

條件：無

因d整除n，整數代表改加n仍不改mod d，π:Z_n→Z_d良定且保加乘。核I由d倍數組成，加法差封閉且左右乘任意母環元素仍在I。d≥2使1不在I，故proper；d=n可得零理想，不把它排除。

步驟識別與依賴規則：quotient_ring_actual_parent_proper_two_sided_ideal · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

complete parent residues=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19];same ideal I=[0, 4, 8, 12, 16]

操作後

all additive cosets in representative order0..d-1=[[0, 4, 8, 12, 16], [1, 5, 9, 13, 17], [2, 6, 10, 14, 18], [3, 7, 11, 15, 19]];quotient size=4;no field conclusion

條件：無

每個加法coset列全體同餘mod d的母環元素，按代表0..d−1排序；它們互斥且覆蓋Z_n。商元素是整類，輸出class標籤只是索引，不因有限商環就宣稱域。

步驟識別與依賴規則：quotient_ring_full_cosets_not_representative_carrier · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

representative slot0 input class exact quotient fraction := div(1, 4)

操作後

representative slot0 input class exact quotient fraction = 1/4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

representative slot0 input class:integer value=1;positive modulus=4;exact ratio=1/4

操作後

floor quotient=0;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S004





S006 · calculation操作前

representative slot0 input class quotient multiple := mul(0, 4)

操作後

representative slot0 input class quotient multiple = 0

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

representative slot0 input class canonical nonnegative residue := sub(1, 0)

操作後

representative slot0 input class canonical nonnegative residue = 1

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · calculation操作前

representative slot1 input class exact quotient fraction := div(3, 4)

操作後

representative slot1 input class exact quotient fraction = 3/4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

representative slot1 input class:integer value=3;positive modulus=4;exact ratio=3/4

操作後

floor quotient=0;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S008





S010 · calculation操作前

representative slot1 input class quotient multiple := mul(0, 4)

操作後

representative slot1 input class quotient multiple = 0

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

representative slot1 input class canonical nonnegative residue := sub(3, 0)

操作後

representative slot1 input class canonical nonnegative residue = 3

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · calculation操作前

representative slot2 input class exact quotient fraction := div(5, 4)

操作後

representative slot2 input class exact quotient fraction = 5/4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

representative slot2 input class:integer value=5;positive modulus=4;exact ratio=5/4

操作後

floor quotient=1;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S012





S014 · calculation操作前

representative slot2 input class quotient multiple := mul(1, 4)

操作後

representative slot2 input class quotient multiple = 4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

representative slot2 input class canonical nonnegative residue := sub(5, 4)

操作後

representative slot2 input class canonical nonnegative residue = 1

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · calculation操作前

representative slot3 input class exact quotient fraction := div(7, 4)

操作後

representative slot3 input class exact quotient fraction = 7/4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

representative slot3 input class:integer value=7;positive modulus=4;exact ratio=7/4

操作後

floor quotient=1;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S016





S018 · calculation操作前

representative slot3 input class quotient multiple := mul(1, 4)

操作後

representative slot3 input class quotient multiple = 4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

representative slot3 input class canonical nonnegative residue := sub(7, 4)

操作後

representative slot3 input class canonical nonnegative residue = 3

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · calculation操作前

first representative change := sub(1, 5)

操作後

first representative change = -4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019





S021 · calculation操作前

second representative change := sub(3, 7)

操作後

second representative change = -4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020





S022 · calculation操作前

first representative change divided by d := div(-4, 4)

操作後

first representative change divided by d = -1

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

second representative change divided by d := div(-4, 4)

操作後

second representative change divided by d = -1

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

original representative choices=[1, 3, 5, 7];class labels in slot order=[1, 3, 1, 3];changes a-a_prime=-4;b-b_prime=-4

操作後

integer ideal multiples=[-1, -1];corresponding INPUT cosets agree

條件：無

先確定兩組代表本來表示相同兩個輸入coset；不符就是問題前提不合，不能把它稱商運算不良定的反例。差除d為整數，明示同理想成員資格。

步驟識別與依賴規則：quotient_well_defined_input_cosets_are_premise · 依賴：G001, S023





S025 · calculation操作前

representative choice0 addition integer addition := sum(1, 3)

操作後

representative choice0 addition integer addition = 4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024





S026 · calculation操作前

representative choice0 addition parent mod n exact quotient fraction := div(4, 20)

操作後

representative choice0 addition parent mod n exact quotient fraction = 1/5

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

representative choice0 addition parent mod n:integer value=4;positive modulus=20;exact ratio=1/5

操作後

floor quotient=0;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S026





S028 · calculation操作前

representative choice0 addition parent mod n quotient multiple := mul(0, 20)

操作後

representative choice0 addition parent mod n quotient multiple = 0

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027





S029 · calculation操作前

representative choice0 addition parent mod n canonical nonnegative residue := sub(4, 0)

操作後

representative choice0 addition parent mod n canonical nonnegative residue = 4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028





S030 · calculation操作前

representative choice0 addition quotient class mod d exact quotient fraction := div(4, 4)

操作後

representative choice0 addition quotient class mod d exact quotient fraction = 1

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

representative choice0 addition quotient class mod d:integer value=4;positive modulus=4;exact ratio=1

操作後

floor quotient=1;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S030





S032 · calculation操作前

representative choice0 addition quotient class mod d quotient multiple := mul(1, 4)

操作後

representative choice0 addition quotient class mod d quotient multiple = 4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031





S033 · calculation操作前

representative choice0 addition quotient class mod d canonical nonnegative residue := sub(4, 4)

操作後

representative choice0 addition quotient class mod d canonical nonnegative residue = 0

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

representative choice0 addition:original parent representatives=[1, 3];integer result=4;parent modulus=20

操作後

parent result=4;quotient class label=0;class modulus=4

條件：無

先在指定母環mod n運算，再取mod d的商類；兩層欄位可能不同，不可跳成同一個餘數，也不能把標籤當商元素全體內容。

步驟識別與依賴規則：quotient_operation_parent_result_separate_from_class · 依賴：G001, S033





S035 · calculation操作前

representative choice0 multiplication integer multiplication := mul(1, 3)

操作後

representative choice0 multiplication integer multiplication = 3

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034





S036 · calculation操作前

representative choice0 multiplication parent mod n exact quotient fraction := div(3, 20)

操作後

representative choice0 multiplication parent mod n exact quotient fraction = 3/20

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

representative choice0 multiplication parent mod n:integer value=3;positive modulus=20;exact ratio=3/20

操作後

floor quotient=0;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S036





S038 · calculation操作前

representative choice0 multiplication parent mod n quotient multiple := mul(0, 20)

操作後

representative choice0 multiplication parent mod n quotient multiple = 0

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037





S039 · calculation操作前

representative choice0 multiplication parent mod n canonical nonnegative residue := sub(3, 0)

操作後

representative choice0 multiplication parent mod n canonical nonnegative residue = 3

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038





S040 · calculation操作前

representative choice0 multiplication quotient class mod d exact quotient fraction := div(3, 4)

操作後

representative choice0 multiplication quotient class mod d exact quotient fraction = 3/4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039





S041 · implies操作前

representative choice0 multiplication quotient class mod d:integer value=3;positive modulus=4;exact ratio=3/4

操作後

floor quotient=0;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S040





S042 · calculation操作前

representative choice0 multiplication quotient class mod d quotient multiple := mul(0, 4)

操作後

representative choice0 multiplication quotient class mod d quotient multiple = 0

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041





S043 · calculation操作前

representative choice0 multiplication quotient class mod d canonical nonnegative residue := sub(3, 0)

操作後

representative choice0 multiplication quotient class mod d canonical nonnegative residue = 3

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042





S044 · implies操作前

representative choice0 multiplication:original parent representatives=[1, 3];integer result=3;parent modulus=20

操作後

parent result=3;quotient class label=3;class modulus=4

條件：無

先在指定母環mod n運算，再取mod d的商類；兩層欄位可能不同，不可跳成同一個餘數，也不能把標籤當商元素全體內容。

步驟識別與依賴規則：quotient_operation_parent_result_separate_from_class · 依賴：G001, S043





S045 · calculation操作前

representative choice1 addition integer addition := sum(5, 7)

操作後

representative choice1 addition integer addition = 12

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044





S046 · calculation操作前

representative choice1 addition parent mod n exact quotient fraction := div(12, 20)

操作後

representative choice1 addition parent mod n exact quotient fraction = 3/5

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045





S047 · implies操作前

representative choice1 addition parent mod n:integer value=12;positive modulus=20;exact ratio=3/5

操作後

floor quotient=0;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S046





S048 · calculation操作前

representative choice1 addition parent mod n quotient multiple := mul(0, 20)

操作後

representative choice1 addition parent mod n quotient multiple = 0

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047





S049 · calculation操作前

representative choice1 addition parent mod n canonical nonnegative residue := sub(12, 0)

操作後

representative choice1 addition parent mod n canonical nonnegative residue = 12

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048





S050 · calculation操作前

representative choice1 addition quotient class mod d exact quotient fraction := div(12, 4)

操作後

representative choice1 addition quotient class mod d exact quotient fraction = 3

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049





S051 · implies操作前

representative choice1 addition quotient class mod d:integer value=12;positive modulus=4;exact ratio=3

操作後

floor quotient=3;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S050





S052 · calculation操作前

representative choice1 addition quotient class mod d quotient multiple := mul(3, 4)

操作後

representative choice1 addition quotient class mod d quotient multiple = 12

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051





S053 · calculation操作前

representative choice1 addition quotient class mod d canonical nonnegative residue := sub(12, 12)

操作後

representative choice1 addition quotient class mod d canonical nonnegative residue = 0

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052





S054 · implies操作前

representative choice1 addition:original parent representatives=[5, 7];integer result=12;parent modulus=20

操作後

parent result=12;quotient class label=0;class modulus=4

條件：無

先在指定母環mod n運算，再取mod d的商類；兩層欄位可能不同，不可跳成同一個餘數，也不能把標籤當商元素全體內容。

步驟識別與依賴規則：quotient_operation_parent_result_separate_from_class · 依賴：G001, S053





S055 · calculation操作前

representative choice1 multiplication integer multiplication := mul(5, 7)

操作後

representative choice1 multiplication integer multiplication = 35

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054





S056 · calculation操作前

representative choice1 multiplication parent mod n exact quotient fraction := div(35, 20)

操作後

representative choice1 multiplication parent mod n exact quotient fraction = 7/4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055





S057 · implies操作前

representative choice1 multiplication parent mod n:integer value=35;positive modulus=20;exact ratio=7/4

操作後

floor quotient=1;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S056





S058 · calculation操作前

representative choice1 multiplication parent mod n quotient multiple := mul(1, 20)

操作後

representative choice1 multiplication parent mod n quotient multiple = 20

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057





S059 · calculation操作前

representative choice1 multiplication parent mod n canonical nonnegative residue := sub(35, 20)

操作後

representative choice1 multiplication parent mod n canonical nonnegative residue = 15

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058





S060 · calculation操作前

representative choice1 multiplication quotient class mod d exact quotient fraction := div(15, 4)

操作後

representative choice1 multiplication quotient class mod d exact quotient fraction = 15/4

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059





S061 · implies操作前

representative choice1 multiplication quotient class mod d:integer value=15;positive modulus=4;exact ratio=15/4

操作後

floor quotient=3;quotient<=ratio<quotient+1

條件：無

先取有理商再取向下整數商q，不能把有理除法本身當餘數；正模數下q≤value/m<q+1，故後續減去qm得到0至m−1。

步驟識別與依賴規則：modular_Euclidean_floor_not_rational_division_result · 依賴：G001, S060





S062 · calculation操作前

representative choice1 multiplication quotient class mod d quotient multiple := mul(3, 4)

操作後

representative choice1 multiplication quotient class mod d quotient multiple = 12

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061





S063 · calculation操作前

representative choice1 multiplication quotient class mod d canonical nonnegative residue := sub(15, 12)

操作後

representative choice1 multiplication quotient class mod d canonical nonnegative residue = 3

條件：無

依原始角色及已核中間量精確計算，保留索引、符號、分母與運算所在載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062





S064 · implies操作前

representative choice1 multiplication:original parent representatives=[5, 7];integer result=35;parent modulus=20

操作後

parent result=15;quotient class label=3;class modulus=4

條件：無

先在指定母環mod n運算，再取mod d的商類；兩層欄位可能不同，不可跳成同一個餘數，也不能把標籤當商元素全體內容。

步驟識別與依賴規則：quotient_operation_parent_result_separate_from_class · 依賴：G001, S063





S065 · implies操作前

ANY changes a-a_prime,b-b_prime in same two-sided ideal I;actual addition classes=[0, 0];actual multiplication classes=[3, 3]

操作後

(a+b)-(a_prime+b_prime)=(a-a_prime)+(b-b_prime) in I;ab-a_prime*b_prime=a*(b-b_prime)+(a-a_prime)*b_prime in I;both universal operation obligations=是

條件：無

加法差由I加法封閉，乘法差由左／右吸收再相加，故任意合法代表替換都不改coset。本題兩次重算是實例核對，真正的全稱良定性來自這個理想論證，不只兩樣本同值。

步驟識別與依賴規則：quotient_ring_universal_representative_independence_not_two_samples · 依賴：G001, S064









## 逐步反向核對


- S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 multiplication quotient class mod d canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 multiplication quotient class mod d quotient multiple，不以小數近似替代。
- S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 multiplication quotient class mod d exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 multiplication parent mod n canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 multiplication parent mod n quotient multiple，不以小數近似替代。
- S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 multiplication parent mod n exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 multiplication integer multiplication，不以小數近似替代。
- S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 addition quotient class mod d canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 addition quotient class mod d quotient multiple，不以小數近似替代。
- S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 addition quotient class mod d exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 addition parent mod n canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 addition parent mod n quotient multiple，不以小數近似替代。
- S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 addition parent mod n exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice1 addition integer addition，不以小數近似替代。
- S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 multiplication quotient class mod d canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 multiplication quotient class mod d quotient multiple，不以小數近似替代。
- S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 multiplication quotient class mod d exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 multiplication parent mod n canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 multiplication parent mod n quotient multiple，不以小數近似替代。
- S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 multiplication parent mod n exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 multiplication integer multiplication，不以小數近似替代。
- S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 addition quotient class mod d canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 addition quotient class mod d quotient multiple，不以小數近似替代。
- S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 addition quotient class mod d exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 addition parent mod n canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 addition parent mod n quotient multiple，不以小數近似替代。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 addition parent mod n exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative choice0 addition integer addition，不以小數近似替代。
- S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second representative change divided by d，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first representative change divided by d，不以小數近似替代。
- S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second representative change，不以小數近似替代。
- S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first representative change，不以小數近似替代。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot3 input class canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot3 input class quotient multiple，不以小數近似替代。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot3 input class exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot2 input class canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot2 input class quotient multiple，不以小數近似替代。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot2 input class exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot1 input class canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot1 input class quotient multiple，不以小數近似替代。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot1 input class exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot0 input class canonical nonnegative residue，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot0 input class quotient multiple，不以小數近似替代。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 representative slot0 input class exact quotient fraction，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ring parent modulus divided by ideal generator，不以小數近似替代。





## 結論

([1, 3, 5, 7], [0, 0], [3, 3], 是, 是, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 165119cdd12c87af7d0300e31200e827c616524c81ae4152371a9140dd9a3954
- candidate record SHA-256: 31a6f04451dac42aa0bf49986fc1e874b0bb8be2b9d0a77cd6ed307a64bd05fb
- semantic review receipt SHA-256: 73bc08066ffb1a81eacb2d4e288d03f522aeefd3949fa0d97da41b484ed737bc
- question-first witness SHA-256: ac120452a208b257b8270f38351a09dcd832cdbc8d9db6b69933f83e43cc9336
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261031-r04-finite-quotient-ring-0093.json)