# 第 15645 題：圖著色 [返回所在分頁 79](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/79/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261031-r05-graph-coloring-foundations/#q-20261014-advance-20261031-r05-graph-coloring-0020) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0030-15645 · q-20261014-advance-20261031-r05-graph-coloring-0020 ## 原題與已知條件 完整有限無向簡單圖與每頂點顏色。操作=coloring-proper-audit；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[1,2],[2,3],[3,4],[4,5]],"colors":[19,20,19,20,19,20],"k":3}。請依 [used_colors,conflicts,edge_proper,at_most_k,proper_k_coloring,boundary] 欄序回答。 - G001 — 完整有限無向簡單圖與每頂點顏色。操作=coloring-proper-audit；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[1,2],[2,3],[3,4],[4,5]],"colors":[19,20,19,20,19,20],"k":3}。請依 [used_colors,conflicts,edge_proper,at_most_k,proper_k_coloring,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-graph-coloring](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-graph-coloring/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 complete undirected vertex carrier Fin(6);original edges=[[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]] 操作後 normalized sorted simple edges=[[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]];all vertices including isolates=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 條件：無 逐邊先排端點再把邊作字典序排序，反向重複仍是同一邊而須拒絕；loop亦拒絕。完整載體包括沒有邊的頂點，不能從邊表遺漏它們。 步驟識別與依賴規則：graph_complete_simple_carrier_normalized_edge_order · 依賴：G001 S002 · implies操作前 colors:normalized edge index=0;edge=[0, 1];endpoint labels=[19, 20] 操作後 different endpoints=是;same-label conflict=否 條件：無 只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。 步驟識別與依賴規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 colors:normalized edge index=1;edge=[1, 2];endpoint labels=[20, 19] 操作後 different endpoints=是;same-label conflict=否 條件：無 只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。 步驟識別與依賴規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 colors:normalized edge index=2;edge=[2, 3];endpoint labels=[19, 20] 操作後 different endpoints=是;same-label conflict=否 條件：無 只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。 步驟識別與依賴規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 colors:normalized edge index=3;edge=[3, 4];endpoint labels=[20, 19] 操作後 different endpoints=是;same-label conflict=否 條件：無 只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。 步驟識別與依賴規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 colors:normalized edge index=4;edge=[4, 5];endpoint labels=[19, 20] 操作後 different endpoints=是;same-label conflict=否 條件：無 只檢同一條實際邊的兩端；不相鄰頂點重用標記不算衝突，某一條跨部亦不代表其他邊都通過。 步驟識別與依賴規則：graph_every_edge_endpoint_constraint · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 total original vertex colors=[19, 20, 19, 20, 19, 20];all normalized conflicts=[] 操作後 increasing distinct used labels=[19, 20];used count=2;all edges proper=是 條件：無 顏色是名字，使用幾種要數distinct，不用最大標籤加1。只有相鄰同色才衝突，非相鄰重用同色合法。 步驟識別與依賴規則：coloring_distinct_label_count_not_numeric_magnitude · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 all-edge proper=是;distinct used count=2;original k=3 操作後 at most k=是;proper k-coloring certificate=是;upper_bound_not_exact_optimum 條件：無 proper與用色≤k須同時成立，才給χ(G)≤k。可先把這些標籤重命名到k種顏色，數字名超過k−1不妨礙；沒有較小k不可能的證據，不能報最佳。 步驟識別與依賴規則：coloring_k_bound_conjunction_not_minimum_chromatic_number · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([19, 20], [], 是, 是, 是, proper_k_coloring_uses_at_most_k_colors) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e1aaf20b1882baf5b768723a758961e781ce56feceae8eb137d94ec5a012a69c - candidate record SHA-256: 2c764daecd905ca94e28719d2e5c18eeff19867a8cf80a550939fe5792f1419f - semantic review receipt SHA-256: 73bc08066ffb1a81eacb2d4e288d03f522aeefd3949fa0d97da41b484ed737bc - question-first witness SHA-256: ac120452a208b257b8270f38351a09dcd832cdbc8d9db6b69933f83e43cc9336 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261031-r05-graph-coloring-0020.json)