# 第 33686 題：有限域深度 [返回所在分頁 169](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/169/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261031-r06-finite-field-foundations/#q-20261014-advance-20261031-r06-finite-field-0036) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0066-33686 · q-20261014-advance-20261031-r06-finite-field-0036 ## 原題與已知條件 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":31,"element":11}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。 - G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-power-cycle；資料={"p":31,"element":11}。請依 [element,powers,last,is_one,certificate] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-field](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-field/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source roles = [qf-mod31-fielddeep-power-cycle, [domain, element, operation, p]] 操作後 derived = [fielddeep-power-cycle, Exact_prime_field_Zp] 條件：無 原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。 步驟識別與依賴規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001 S002 · implies操作前 source roles = [31, [2, 3, 4, 5]] 操作後 derived = [[1, 1, 3, 1], 是] 條件：無 完整試除2到floor(sqrt(p))無因數；若p合成必有其中因數。2也合法。只限定本題Z_p，不把一般有限域都說成prime order或把有限環都說成域。 步驟識別與依賴規則：Field_PRIME_complete_trial_divisor_qualification · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 11) 操作後 Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 11 條件：無 按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 source roles = [power exponent1, 11, 31] 操作後 derived = [0, 11] 條件：無 以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder