# 第 33658 題：有限域深度

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R0066-33658 · q-20261014-advance-20261031-r06-finite-field-0083



## 原題與已知條件

完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":19,"element":7}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。


- G001 — 完整prime field Z_p運算。操作=fielddeep-frobenius；資料={"p":19,"element":7}。請依 [element,p,power,equal,certificate] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-finite-field](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-field/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source roles = [qf-mod31-fielddeep-frobenius, [domain, element, operation, p]]

操作後

derived = [fielddeep-frobenius, Exact_prime_field_Zp]

條件：無

原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。

步驟識別與依賴規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001





S002 · implies操作前

source roles = [19, [2, 3, 4]]

操作後

derived = [[1, 1, 3], 是]

條件：無

完整試除2到floor(sqrt(p))無因數；若p合成必有其中因數。2也合法。只限定本題Z_p，不把一般有限域都說成prime order或把有限環都說成域。

步驟識別與依賴規則：Field_PRIME_complete_trial_divisor_qualification · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=1 := mul(1, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=1 = 7

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

source roles = [power exponent1, 7, 19]

操作後

derived = [0, 7]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S003





S005 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=2 := mul(7, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=2 = 49

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

source roles = [power exponent2, 49, 19]

操作後

derived = [2, 11]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=3 := mul(11, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=3 = 77

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

source roles = [power exponent3, 77, 19]

操作後

derived = [4, 1]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S007





S009 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=4 := mul(1, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=4 = 7

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

source roles = [power exponent4, 7, 19]

操作後

derived = [0, 7]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S009





S011 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=5 := mul(7, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=5 = 49

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

source roles = [power exponent5, 49, 19]

操作後

derived = [2, 11]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S011





S013 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=6 := mul(11, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=6 = 77

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

source roles = [power exponent6, 77, 19]

操作後

derived = [4, 1]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S013





S015 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=7 := mul(1, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=7 = 7

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

source roles = [power exponent7, 7, 19]

操作後

derived = [0, 7]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S015





S017 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=8 := mul(7, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=8 = 49

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

source roles = [power exponent8, 49, 19]

操作後

derived = [2, 11]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S017





S019 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=9 := mul(11, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=9 = 77

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

source roles = [power exponent9, 77, 19]

操作後

derived = [4, 1]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S019





S021 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=10 := mul(1, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=10 = 7

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

source roles = [power exponent10, 7, 19]

操作後

derived = [0, 7]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S021





S023 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=11 := mul(7, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=11 = 49

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

source roles = [power exponent11, 49, 19]

操作後

derived = [2, 11]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S023





S025 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=12 := mul(11, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=12 = 77

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

source roles = [power exponent12, 77, 19]

操作後

derived = [4, 1]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S025





S027 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=13 := mul(1, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=13 = 7

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

source roles = [power exponent13, 7, 19]

操作後

derived = [0, 7]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S027





S029 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=14 := mul(7, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=14 = 49

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

source roles = [power exponent14, 49, 19]

操作後

derived = [2, 11]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S029





S031 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=15 := mul(11, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=15 = 77

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

source roles = [power exponent15, 77, 19]

操作後

derived = [4, 1]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S031





S033 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=16 := mul(1, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=16 = 7

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

source roles = [power exponent16, 7, 19]

操作後

derived = [0, 7]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S033





S035 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=17 := mul(7, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=17 = 49

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

source roles = [power exponent17, 49, 19]

操作後

derived = [2, 11]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S035





S037 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=18 := mul(11, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=18 = 77

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036





S038 · implies操作前

source roles = [power exponent18, 77, 19]

操作後

derived = [4, 1]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S037





S039 · calculation操作前

Field ORIGINAL previous power times element k=19 := mul(1, 7)

操作後

Field ORIGINAL previous power times element k=19 = 7

條件：無

按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038





S040 · implies操作前

source roles = [power exponent19, 7, 19]

操作後

derived = [0, 7]

條件：無

以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。

步驟識別與依賴規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S039





S041 · implies操作前

source roles = [19, 7, [7, 11, 1, 7, 11, 1, 7, 11, 1, 7, 11, 1, 7, 11, 1, 7, 11, 1, 7]]

操作後

derived = [7, 是]

條件：無

逐乘核element^p=element於此Z_p，零元素也允許。一般擴張域的Frobenius未必逐點固定，不能擴大本題的結論。

步驟識別與依賴規則：Field_FROBENIUS_prime_field_INCLUDES_zero · 依賴：G001, S040









## 逐步反向核對


- S041 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S040 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=19，不以小數近似替代。
- S038 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=18，不以小數近似替代。
- S036 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=17，不以小數近似替代。
- S034 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=16，不以小數近似替代。
- S032 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=15，不以小數近似替代。
- S030 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=14，不以小數近似替代。
- S028 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=13，不以小數近似替代。
- S026 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=12，不以小數近似替代。
- S024 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=11，不以小數近似替代。
- S022 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=10，不以小數近似替代。
- S020 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=9，不以小數近似替代。
- S018 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=8，不以小數近似替代。
- S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=7，不以小數近似替代。
- S014 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=6，不以小數近似替代。
- S012 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=5，不以小數近似替代。
- S010 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=4，不以小數近似替代。
- S008 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=3，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=2，不以小數近似替代。
- S004 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Field ORIGINAL previous power times element k=1，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。
- S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。





## 結論

(7, 19, 7, 是, Frobenius_on_prime_field)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 68918a83e63927bb24c62efb495692ce126f0e0bf7399cb8ef81ef903542643b
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