# 第 16431 題：實向量子空間

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0031-16431 · q-20261014-advance-20261101-r01-vector-subspace-0056



## 原題與已知條件

R²通常運算與明示全稱代數證書。操作=subspace-finite-set-counterexample；資料={"points":[[0,0],[6,1]]}。請依 [points,witness,subspace,classification] 欄序回答。


- G001 — R²通常運算與明示全稱代數證書。操作=subspace-finite-set-counterexample；資料={"points":[[0,0],[6,1]]}。請依 [points,witness,subspace,classification] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-vector-subspace](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-vector-subspace/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

DECLARED complete finite candidate subset of usual real R2=[[0, 0], [6, 1]];original point order retained

操作後

zero vector present=是;raw points nonempty and duplicate-free=是

條件：無

完整有限點集是候選集合本身，不是未知子空間的抽樣；保留原點順序，先優先找缺零反例，不能去重或重排改變原見證。

步驟識別與依賴規則：subspace_complete_finite_set_not_unknown_sampled_universe · 依賴：G001





S002 · implies操作前

first original nonzero point index=1;point=[6, 1];complete set size=2

操作後

integer multiples k*point for k=2 through4 are 3 DISTINCT vectors;some image must be absent

條件：無

非零點有某個非零座標，所以兩純量給同倍點可消去該座標得兩純量相同；L+1個不同倍點不能全放進L點集合。此論證保證搜尋會停，不是用有限正例猜封閉。

步驟識別與依賴規則：subspace_nonzero_real_multiples_finite_pigeonhole_obligation · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

finite scalar2 image coordinate0 := mul(2, 6)

操作後

finite scalar2 image coordinate0 = 12

條件：無

依原始欄位角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及完整載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

finite scalar2 image coordinate1 := mul(2, 1)

操作後

finite scalar2 image coordinate1 = 2

條件：無

依原始欄位角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引及完整載體。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

first original nonzero point=[6, 1];candidate scalar=2;exact image=[12, 2]

操作後

image belongs to complete candidate=否

條件：無

依2、3、…順序核真實集合成員資格，第一個缺失才是原協定見證；推得的像可超過原始座標輸入界限，不能因此刪掉反例。

步驟識別與依賴規則：subspace_first_missing_integer_scalar_in_source_order · 依賴：G001, S004









## 逐步反向核對


- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite scalar2 image coordinate1，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 finite scalar2 image coordinate0，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([[0, 0], [6, 1]], [scalar_failure, 2, [6, 1], [12, 2]], 否, not_subspace_exact_counterexample)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: a3e4132e656be2294ebe8e8be1756ab77aa873ff87f7a8d270822cef2e9da645
- candidate record SHA-256: f014229bb0ea6ecc24c468540d10e76fa05be0844f8788d6fab8ba30a4a6fc48
- semantic review receipt SHA-256: 55bb21783e2125ecf1e67e42f83fd25bec0ccd493f911f4bb937a5e9d6f9369a
- question-first witness SHA-256: 754ddf2a6039c5ef4aae78a538c6e9a1e9a58d4825aee194e869a27b8a4c95bb
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261101-r01-vector-subspace-0056.json)