# 第 16640 題：Euler φ函數

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R0032-16640 · q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0015



## 原題與已知條件

正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-coprime-residues；資料={"n":15}。請依 [n,coprime_residues,representative_convention] 欄序回答。


- G001 — 正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-coprime-residues；資料={"n":15}。請依 [n,coprime_residues,representative_convention] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-euler-totient-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-totient-function/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

selected modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 15, 0, 1], [15, 1, 15, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001





S002 · implies操作前

selected modulus:original representative k=1 in1..15;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

selected modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 15, 0, 2], [15, 2, 7, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

selected modulus:original representative k=2 in1..15;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

selected modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 15, 0, 3], [15, 3, 5, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

selected modulus:original representative k=3 in1..15;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

selected modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 15, 0, 4], [15, 4, 3, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

selected modulus:original representative k=4 in1..15;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

selected modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 15, 0, 5], [15, 5, 3, 0]];terminal positive gcd=5

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

selected modulus:original representative k=5 in1..15;verified gcd(k,n)=5

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

selected modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 15, 0, 6], [15, 6, 2, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

selected modulus:original representative k=6 in1..15;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

selected modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 15, 0, 7], [15, 7, 2, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

selected modulus:original representative k=7 in1..15;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

selected modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 15, 0, 8], [15, 8, 1, 7], [8, 7, 1, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

selected modulus:original representative k=8 in1..15;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

selected modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 15, 0, 9], [15, 9, 1, 6], [9, 6, 1, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

selected modulus:original representative k=9 in1..15;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

selected modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 15, 0, 10], [15, 10, 1, 5], [10, 5, 2, 0]];terminal positive gcd=5

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

selected modulus:original representative k=10 in1..15;verified gcd(k,n)=5

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

selected modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 15, 0, 11], [15, 11, 1, 4], [11, 4, 2, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

selected modulus:original representative k=11 in1..15;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

selected modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 15, 0, 12], [15, 12, 1, 3], [12, 3, 4, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

selected modulus:original representative k=12 in1..15;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

selected modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 15, 0, 13], [15, 13, 1, 2], [13, 2, 6, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

selected modulus:original representative k=13 in1..15;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

selected modulus representative14:original nonnegative Euclidean inputs=[14, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[14, 15, 0, 14], [15, 14, 1, 1], [14, 1, 14, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

selected modulus:original representative k=14 in1..15;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

selected modulus representative15:original nonnegative Euclidean inputs=[15, 15]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[15, 15, 1, 0]];terminal positive gcd=15

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

selected modulus:original representative k=15 in1..15;verified gcd(k,n)=15

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S029





S031 · calculation操作前

selected modulus exact coprime indicator count := sum(1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0)

操作後

selected modulus exact coprime indicator count = 8

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

selected modulus:complete representative range1..15;all selected coprime representatives=[1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14]

操作後

phi(15)=8;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S031









## 逐步反向核對


- S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 selected modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。
- S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(15, [1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14], representatives_1_through_n)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: ec34c35aa8b18ca9deb70aac7df0144e1885af41f912677216fad8dc7f218542
- candidate record SHA-256: 4af3a0935649905c84b8246d74ea1f5a0a4d745e2dbc500a4fca4903ace0f900
- semantic review receipt SHA-256: d64b4e08bda1c25dd393b7c7e4140a8734610a9b84ae47e6f0adcff7f30a0b8e
- question-first witness SHA-256: 790fd6623c04ba52a6ffb0a95cea52b532a02b23bb9453926d2d9f7a825fdec8
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0015.json)