# 第 16660 題：Euler φ函數

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R0032-16660 · q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0085



## 原題與已知條件

正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-multiplicativity-instance；資料={"m":2,"n":21}。請依 [m,n,phi_m,phi_n,phi_mn,product,equal,boundary] 欄序回答。


- G001 — 正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-multiplicativity-instance；資料={"m":2,"n":21}。請依 [m,n,phi_m,phi_n,phi_mn,product,equal,boundary] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-euler-totient-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-totient-function/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

totient multiplicativity coprimality premise:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 21, 0, 2], [21, 2, 10, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

totient multiplicativity original modulus product := mul(2, 21)

操作後

totient multiplicativity original modulus product = 42

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

left modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 2]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 2, 0, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

left modulus:original representative k=1 in1..2;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

left modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 2]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 2, 1, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

left modulus:original representative k=2 in1..2;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

left modulus exact coprime indicator count := sum(1, 0)

操作後

left modulus exact coprime indicator count = 1

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

left modulus:complete representative range1..2;all selected coprime representatives=[1]

操作後

phi(2)=1;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

right modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 21, 0, 1], [21, 1, 21, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

right modulus:original representative k=1 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

right modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 21, 0, 2], [21, 2, 10, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

right modulus:original representative k=2 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

right modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 21, 0, 3], [21, 3, 7, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

right modulus:original representative k=3 in1..21;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

right modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 21, 0, 4], [21, 4, 5, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

right modulus:original representative k=4 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

right modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 21, 0, 5], [21, 5, 4, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

right modulus:original representative k=5 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

right modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 21, 0, 6], [21, 6, 3, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

right modulus:original representative k=6 in1..21;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

right modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 21, 0, 7], [21, 7, 3, 0]];terminal positive gcd=7

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

right modulus:original representative k=7 in1..21;verified gcd(k,n)=7

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

right modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 21, 0, 8], [21, 8, 2, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

right modulus:original representative k=8 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

right modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 21, 0, 9], [21, 9, 2, 3], [9, 3, 3, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

right modulus:original representative k=9 in1..21;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

right modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 21, 0, 10], [21, 10, 2, 1], [10, 1, 10, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

right modulus:original representative k=10 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

right modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 21, 0, 11], [21, 11, 1, 10], [11, 10, 1, 1], [10, 1, 10, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

right modulus:original representative k=11 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

right modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 21, 0, 12], [21, 12, 1, 9], [12, 9, 1, 3], [9, 3, 3, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

right modulus:original representative k=12 in1..21;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S031





S033 · implies操作前

right modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 21, 0, 13], [21, 13, 1, 8], [13, 8, 1, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

right modulus:original representative k=13 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

right modulus representative14:original nonnegative Euclidean inputs=[14, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[14, 21, 0, 14], [21, 14, 1, 7], [14, 7, 2, 0]];terminal positive gcd=7

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

right modulus:original representative k=14 in1..21;verified gcd(k,n)=7

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

right modulus representative15:original nonnegative Euclidean inputs=[15, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[15, 21, 0, 15], [21, 15, 1, 6], [15, 6, 2, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S036





S038 · implies操作前

right modulus:original representative k=15 in1..21;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S037





S039 · implies操作前

right modulus representative16:original nonnegative Euclidean inputs=[16, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[16, 21, 0, 16], [21, 16, 1, 5], [16, 5, 3, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S038





S040 · implies操作前

right modulus:original representative k=16 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S039





S041 · implies操作前

right modulus representative17:original nonnegative Euclidean inputs=[17, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[17, 21, 0, 17], [21, 17, 1, 4], [17, 4, 4, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S040





S042 · implies操作前

right modulus:original representative k=17 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S041





S043 · implies操作前

right modulus representative18:original nonnegative Euclidean inputs=[18, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[18, 21, 0, 18], [21, 18, 1, 3], [18, 3, 6, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S042





S044 · implies操作前

right modulus:original representative k=18 in1..21;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S043





S045 · implies操作前

right modulus representative19:original nonnegative Euclidean inputs=[19, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[19, 21, 0, 19], [21, 19, 1, 2], [19, 2, 9, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S044





S046 · implies操作前

right modulus:original representative k=19 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S045





S047 · implies操作前

right modulus representative20:original nonnegative Euclidean inputs=[20, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[20, 21, 0, 20], [21, 20, 1, 1], [20, 1, 20, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S046





S048 · implies操作前

right modulus:original representative k=20 in1..21;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S047





S049 · implies操作前

right modulus representative21:original nonnegative Euclidean inputs=[21, 21]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[21, 21, 1, 0]];terminal positive gcd=21

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S048





S050 · implies操作前

right modulus:original representative k=21 in1..21;verified gcd(k,n)=21

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S049





S051 · calculation操作前

right modulus exact coprime indicator count := sum(1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0)

操作後

right modulus exact coprime indicator count = 12

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050





S052 · implies操作前

right modulus:complete representative range1..21;all selected coprime representatives=[1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20]

操作後

phi(21)=12;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S051





S053 · implies操作前

product modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 42, 0, 1], [42, 1, 42, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S052





S054 · implies操作前

product modulus:original representative k=1 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S053





S055 · implies操作前

product modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 42, 0, 2], [42, 2, 21, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S054





S056 · implies操作前

product modulus:original representative k=2 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S055





S057 · implies操作前

product modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 42, 0, 3], [42, 3, 14, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S056





S058 · implies操作前

product modulus:original representative k=3 in1..42;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S057





S059 · implies操作前

product modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 42, 0, 4], [42, 4, 10, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S058





S060 · implies操作前

product modulus:original representative k=4 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S059





S061 · implies操作前

product modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 42, 0, 5], [42, 5, 8, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S060





S062 · implies操作前

product modulus:original representative k=5 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S061





S063 · implies操作前

product modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 42, 0, 6], [42, 6, 7, 0]];terminal positive gcd=6

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S062





S064 · implies操作前

product modulus:original representative k=6 in1..42;verified gcd(k,n)=6

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S063





S065 · implies操作前

product modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 42, 0, 7], [42, 7, 6, 0]];terminal positive gcd=7

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S064





S066 · implies操作前

product modulus:original representative k=7 in1..42;verified gcd(k,n)=7

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S065





S067 · implies操作前

product modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 42, 0, 8], [42, 8, 5, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S066





S068 · implies操作前

product modulus:original representative k=8 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S067





S069 · implies操作前

product modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 42, 0, 9], [42, 9, 4, 6], [9, 6, 1, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S068





S070 · implies操作前

product modulus:original representative k=9 in1..42;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S069





S071 · implies操作前

product modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 42, 0, 10], [42, 10, 4, 2], [10, 2, 5, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S070





S072 · implies操作前

product modulus:original representative k=10 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S071





S073 · implies操作前

product modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 42, 0, 11], [42, 11, 3, 9], [11, 9, 1, 2], [9, 2, 4, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S072





S074 · implies操作前

product modulus:original representative k=11 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S073





S075 · implies操作前

product modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 42, 0, 12], [42, 12, 3, 6], [12, 6, 2, 0]];terminal positive gcd=6

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S074





S076 · implies操作前

product modulus:original representative k=12 in1..42;verified gcd(k,n)=6

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S075





S077 · implies操作前

product modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 42, 0, 13], [42, 13, 3, 3], [13, 3, 4, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S076





S078 · implies操作前

product modulus:original representative k=13 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S077





S079 · implies操作前

product modulus representative14:original nonnegative Euclidean inputs=[14, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[14, 42, 0, 14], [42, 14, 3, 0]];terminal positive gcd=14

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S078





S080 · implies操作前

product modulus:original representative k=14 in1..42;verified gcd(k,n)=14

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S079





S081 · implies操作前

product modulus representative15:original nonnegative Euclidean inputs=[15, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[15, 42, 0, 15], [42, 15, 2, 12], [15, 12, 1, 3], [12, 3, 4, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S080





S082 · implies操作前

product modulus:original representative k=15 in1..42;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S081





S083 · implies操作前

product modulus representative16:original nonnegative Euclidean inputs=[16, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[16, 42, 0, 16], [42, 16, 2, 10], [16, 10, 1, 6], [10, 6, 1, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S082





S084 · implies操作前

product modulus:original representative k=16 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S083





S085 · implies操作前

product modulus representative17:original nonnegative Euclidean inputs=[17, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[17, 42, 0, 17], [42, 17, 2, 8], [17, 8, 2, 1], [8, 1, 8, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S084





S086 · implies操作前

product modulus:original representative k=17 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S085





S087 · implies操作前

product modulus representative18:original nonnegative Euclidean inputs=[18, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[18, 42, 0, 18], [42, 18, 2, 6], [18, 6, 3, 0]];terminal positive gcd=6

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S086





S088 · implies操作前

product modulus:original representative k=18 in1..42;verified gcd(k,n)=6

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S087





S089 · implies操作前

product modulus representative19:original nonnegative Euclidean inputs=[19, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[19, 42, 0, 19], [42, 19, 2, 4], [19, 4, 4, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S088





S090 · implies操作前

product modulus:original representative k=19 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S089





S091 · implies操作前

product modulus representative20:original nonnegative Euclidean inputs=[20, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[20, 42, 0, 20], [42, 20, 2, 2], [20, 2, 10, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S090





S092 · implies操作前

product modulus:original representative k=20 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S091





S093 · implies操作前

product modulus representative21:original nonnegative Euclidean inputs=[21, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[21, 42, 0, 21], [42, 21, 2, 0]];terminal positive gcd=21

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S092





S094 · implies操作前

product modulus:original representative k=21 in1..42;verified gcd(k,n)=21

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S093





S095 · implies操作前

product modulus representative22:original nonnegative Euclidean inputs=[22, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[22, 42, 0, 22], [42, 22, 1, 20], [22, 20, 1, 2], [20, 2, 10, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S094





S096 · implies操作前

product modulus:original representative k=22 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S095





S097 · implies操作前

product modulus representative23:original nonnegative Euclidean inputs=[23, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[23, 42, 0, 23], [42, 23, 1, 19], [23, 19, 1, 4], [19, 4, 4, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S096





S098 · implies操作前

product modulus:original representative k=23 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S097





S099 · implies操作前

product modulus representative24:original nonnegative Euclidean inputs=[24, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[24, 42, 0, 24], [42, 24, 1, 18], [24, 18, 1, 6], [18, 6, 3, 0]];terminal positive gcd=6

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S098





S100 · implies操作前

product modulus:original representative k=24 in1..42;verified gcd(k,n)=6

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S099





S101 · implies操作前

product modulus representative25:original nonnegative Euclidean inputs=[25, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[25, 42, 0, 25], [42, 25, 1, 17], [25, 17, 1, 8], [17, 8, 2, 1], [8, 1, 8, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S100





S102 · implies操作前

product modulus:original representative k=25 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S101





S103 · implies操作前

product modulus representative26:original nonnegative Euclidean inputs=[26, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[26, 42, 0, 26], [42, 26, 1, 16], [26, 16, 1, 10], [16, 10, 1, 6], [10, 6, 1, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S102





S104 · implies操作前

product modulus:original representative k=26 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S103





S105 · implies操作前

product modulus representative27:original nonnegative Euclidean inputs=[27, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[27, 42, 0, 27], [42, 27, 1, 15], [27, 15, 1, 12], [15, 12, 1, 3], [12, 3, 4, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S104





S106 · implies操作前

product modulus:original representative k=27 in1..42;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S105





S107 · implies操作前

product modulus representative28:original nonnegative Euclidean inputs=[28, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[28, 42, 0, 28], [42, 28, 1, 14], [28, 14, 2, 0]];terminal positive gcd=14

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S106





S108 · implies操作前

product modulus:original representative k=28 in1..42;verified gcd(k,n)=14

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S107





S109 · implies操作前

product modulus representative29:original nonnegative Euclidean inputs=[29, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[29, 42, 0, 29], [42, 29, 1, 13], [29, 13, 2, 3], [13, 3, 4, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S108





S110 · implies操作前

product modulus:original representative k=29 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S109





S111 · implies操作前

product modulus representative30:original nonnegative Euclidean inputs=[30, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[30, 42, 0, 30], [42, 30, 1, 12], [30, 12, 2, 6], [12, 6, 2, 0]];terminal positive gcd=6

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S110





S112 · implies操作前

product modulus:original representative k=30 in1..42;verified gcd(k,n)=6

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S111





S113 · implies操作前

product modulus representative31:original nonnegative Euclidean inputs=[31, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[31, 42, 0, 31], [42, 31, 1, 11], [31, 11, 2, 9], [11, 9, 1, 2], [9, 2, 4, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S112





S114 · implies操作前

product modulus:original representative k=31 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S113





S115 · implies操作前

product modulus representative32:original nonnegative Euclidean inputs=[32, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[32, 42, 0, 32], [42, 32, 1, 10], [32, 10, 3, 2], [10, 2, 5, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S114





S116 · implies操作前

product modulus:original representative k=32 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S115





S117 · implies操作前

product modulus representative33:original nonnegative Euclidean inputs=[33, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[33, 42, 0, 33], [42, 33, 1, 9], [33, 9, 3, 6], [9, 6, 1, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S116





S118 · implies操作前

product modulus:original representative k=33 in1..42;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S117





S119 · implies操作前

product modulus representative34:original nonnegative Euclidean inputs=[34, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[34, 42, 0, 34], [42, 34, 1, 8], [34, 8, 4, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S118





S120 · implies操作前

product modulus:original representative k=34 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S119





S121 · implies操作前

product modulus representative35:original nonnegative Euclidean inputs=[35, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[35, 42, 0, 35], [42, 35, 1, 7], [35, 7, 5, 0]];terminal positive gcd=7

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S120





S122 · implies操作前

product modulus:original representative k=35 in1..42;verified gcd(k,n)=7

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S121





S123 · implies操作前

product modulus representative36:original nonnegative Euclidean inputs=[36, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[36, 42, 0, 36], [42, 36, 1, 6], [36, 6, 6, 0]];terminal positive gcd=6

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S122





S124 · implies操作前

product modulus:original representative k=36 in1..42;verified gcd(k,n)=6

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S123





S125 · implies操作前

product modulus representative37:original nonnegative Euclidean inputs=[37, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[37, 42, 0, 37], [42, 37, 1, 5], [37, 5, 7, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S124





S126 · implies操作前

product modulus:original representative k=37 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S125





S127 · implies操作前

product modulus representative38:original nonnegative Euclidean inputs=[38, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[38, 42, 0, 38], [42, 38, 1, 4], [38, 4, 9, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S126





S128 · implies操作前

product modulus:original representative k=38 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S127





S129 · implies操作前

product modulus representative39:original nonnegative Euclidean inputs=[39, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[39, 42, 0, 39], [42, 39, 1, 3], [39, 3, 13, 0]];terminal positive gcd=3

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S128





S130 · implies操作前

product modulus:original representative k=39 in1..42;verified gcd(k,n)=3

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S129





S131 · implies操作前

product modulus representative40:original nonnegative Euclidean inputs=[40, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[40, 42, 0, 40], [42, 40, 1, 2], [40, 2, 20, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S130





S132 · implies操作前

product modulus:original representative k=40 in1..42;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S131





S133 · implies操作前

product modulus representative41:original nonnegative Euclidean inputs=[41, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[41, 42, 0, 41], [42, 41, 1, 1], [41, 1, 41, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S132





S134 · implies操作前

product modulus:original representative k=41 in1..42;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S133





S135 · implies操作前

product modulus representative42:original nonnegative Euclidean inputs=[42, 42]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[42, 42, 1, 0]];terminal positive gcd=42

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S134





S136 · implies操作前

product modulus:original representative k=42 in1..42;verified gcd(k,n)=42

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S135





S137 · calculation操作前

product modulus exact coprime indicator count := sum(1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0)

操作後

product modulus exact coprime indicator count = 12

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S136





S138 · implies操作前

product modulus:complete representative range1..42;all selected coprime representatives=[1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41]

操作後

phi(42)=12;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S137





S139 · calculation操作前

totient supplied instance product of counts := mul(1, 12)

操作後

totient supplied instance product of counts = 12

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S138





S140 · implies操作前

original coprime inputs=[2, 21];gcd=1;product modulus=42;exact totients=[1, 12, 12]

操作後

phi(m)*phi(n)=12;same supplied-instance equality=是;instance_only_with_coprimality

條件：無

先核互質且三個模數都在來源允許域，再完整計三個φ並比較。這只核當前實例；未互質不套用本題協定，也不把數值相等當一般乘法性定理的證明。

步驟識別與依賴規則：totient_coprime_instance_not_unrestricted_multiplicativity_proof · 依賴：G001, S139









## 逐步反向核對


- S140 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 totient supplied instance product of counts，不以小數近似替代。
- S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。
- S136 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S135 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S134 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S133 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S132 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S131 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S130 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S129 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S128 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S127 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S125 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S122 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S121 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S115 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S114 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S112 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S107 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 right modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。
- S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 left modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 totient multiplicativity original modulus product，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(2, 21, 1, 12, 12, 12, 是, instance_only_with_coprimality)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: bd77256b6553a975790ab7cb7e2a9f1c45ced03b6a2b9bc24c7af399159f1ab6
- candidate record SHA-256: 05af86637301571f53679967e5ec827eedeeb316cb9bb3eb9ff27f6bdc35722e
- semantic review receipt SHA-256: d64b4e08bda1c25dd393b7c7e4140a8734610a9b84ae47e6f0adcff7f30a0b8e
- question-first witness SHA-256: 790fd6623c04ba52a6ffb0a95cea52b532a02b23bb9453926d2d9f7a825fdec8
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0085.json)