# 第 16670 題：Euler φ函數

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R0032-16670 · q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0095



## 原題與已知條件

正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-multiplicativity-instance；資料={"m":2,"n":41}。請依 [m,n,phi_m,phi_n,phi_mn,product,equal,boundary] 欄序回答。


- G001 — 正整數與完整1到n代表約定。操作=totient-multiplicativity-instance；資料={"m":2,"n":41}。請依 [m,n,phi_m,phi_n,phi_mn,product,equal,boundary] 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-euler-totient-function](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-totient-function/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

totient multiplicativity coprimality premise:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 41, 0, 2], [41, 2, 20, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

totient multiplicativity original modulus product := mul(2, 41)

操作後

totient multiplicativity original modulus product = 82

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

left modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 2]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 2, 0, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S002





S004 · implies操作前

left modulus:original representative k=1 in1..2;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

left modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 2]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 2, 1, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

left modulus:original representative k=2 in1..2;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S005





S007 · calculation操作前

left modulus exact coprime indicator count := sum(1, 0)

操作後

left modulus exact coprime indicator count = 1

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006





S008 · implies操作前

left modulus:complete representative range1..2;all selected coprime representatives=[1]

操作後

phi(2)=1;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S007





S009 · implies操作前

right modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 41, 0, 1], [41, 1, 41, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S008





S010 · implies操作前

right modulus:original representative k=1 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S009





S011 · implies操作前

right modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 41, 0, 2], [41, 2, 20, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S010





S012 · implies操作前

right modulus:original representative k=2 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S011





S013 · implies操作前

right modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 41, 0, 3], [41, 3, 13, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S012





S014 · implies操作前

right modulus:original representative k=3 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S013





S015 · implies操作前

right modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 41, 0, 4], [41, 4, 10, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S014





S016 · implies操作前

right modulus:original representative k=4 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S015





S017 · implies操作前

right modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 41, 0, 5], [41, 5, 8, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S016





S018 · implies操作前

right modulus:original representative k=5 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S017





S019 · implies操作前

right modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 41, 0, 6], [41, 6, 6, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S018





S020 · implies操作前

right modulus:original representative k=6 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S019





S021 · implies操作前

right modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 41, 0, 7], [41, 7, 5, 6], [7, 6, 1, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S020





S022 · implies操作前

right modulus:original representative k=7 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S021





S023 · implies操作前

right modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 41, 0, 8], [41, 8, 5, 1], [8, 1, 8, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S022





S024 · implies操作前

right modulus:original representative k=8 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S023





S025 · implies操作前

right modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 41, 0, 9], [41, 9, 4, 5], [9, 5, 1, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S024





S026 · implies操作前

right modulus:original representative k=9 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S025





S027 · implies操作前

right modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 41, 0, 10], [41, 10, 4, 1], [10, 1, 10, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S026





S028 · implies操作前

right modulus:original representative k=10 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S027





S029 · implies操作前

right modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 41, 0, 11], [41, 11, 3, 8], [11, 8, 1, 3], [8, 3, 2, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S028





S030 · implies操作前

right modulus:original representative k=11 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S029





S031 · implies操作前

right modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 41, 0, 12], [41, 12, 3, 5], [12, 5, 2, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S030





S032 · implies操作前

right modulus:original representative k=12 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S031





S033 · implies操作前

right modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 41, 0, 13], [41, 13, 3, 2], [13, 2, 6, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S032





S034 · implies操作前

right modulus:original representative k=13 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S033





S035 · implies操作前

right modulus representative14:original nonnegative Euclidean inputs=[14, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[14, 41, 0, 14], [41, 14, 2, 13], [14, 13, 1, 1], [13, 1, 13, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S034





S036 · implies操作前

right modulus:original representative k=14 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S035





S037 · implies操作前

right modulus representative15:original nonnegative Euclidean inputs=[15, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[15, 41, 0, 15], [41, 15, 2, 11], [15, 11, 1, 4], [11, 4, 2, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S036





S038 · implies操作前

right modulus:original representative k=15 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S037





S039 · implies操作前

right modulus representative16:original nonnegative Euclidean inputs=[16, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[16, 41, 0, 16], [41, 16, 2, 9], [16, 9, 1, 7], [9, 7, 1, 2], [7, 2, 3, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S038





S040 · implies操作前

right modulus:original representative k=16 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S039





S041 · implies操作前

right modulus representative17:original nonnegative Euclidean inputs=[17, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[17, 41, 0, 17], [41, 17, 2, 7], [17, 7, 2, 3], [7, 3, 2, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S040





S042 · implies操作前

right modulus:original representative k=17 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S041





S043 · implies操作前

right modulus representative18:original nonnegative Euclidean inputs=[18, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[18, 41, 0, 18], [41, 18, 2, 5], [18, 5, 3, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S042





S044 · implies操作前

right modulus:original representative k=18 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S043





S045 · implies操作前

right modulus representative19:original nonnegative Euclidean inputs=[19, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[19, 41, 0, 19], [41, 19, 2, 3], [19, 3, 6, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S044





S046 · implies操作前

right modulus:original representative k=19 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S045





S047 · implies操作前

right modulus representative20:original nonnegative Euclidean inputs=[20, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[20, 41, 0, 20], [41, 20, 2, 1], [20, 1, 20, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S046





S048 · implies操作前

right modulus:original representative k=20 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S047





S049 · implies操作前

right modulus representative21:original nonnegative Euclidean inputs=[21, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[21, 41, 0, 21], [41, 21, 1, 20], [21, 20, 1, 1], [20, 1, 20, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S048





S050 · implies操作前

right modulus:original representative k=21 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S049





S051 · implies操作前

right modulus representative22:original nonnegative Euclidean inputs=[22, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[22, 41, 0, 22], [41, 22, 1, 19], [22, 19, 1, 3], [19, 3, 6, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S050





S052 · implies操作前

right modulus:original representative k=22 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S051





S053 · implies操作前

right modulus representative23:original nonnegative Euclidean inputs=[23, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[23, 41, 0, 23], [41, 23, 1, 18], [23, 18, 1, 5], [18, 5, 3, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S052





S054 · implies操作前

right modulus:original representative k=23 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S053





S055 · implies操作前

right modulus representative24:original nonnegative Euclidean inputs=[24, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[24, 41, 0, 24], [41, 24, 1, 17], [24, 17, 1, 7], [17, 7, 2, 3], [7, 3, 2, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S054





S056 · implies操作前

right modulus:original representative k=24 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S055





S057 · implies操作前

right modulus representative25:original nonnegative Euclidean inputs=[25, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[25, 41, 0, 25], [41, 25, 1, 16], [25, 16, 1, 9], [16, 9, 1, 7], [9, 7, 1, 2], [7, 2, 3, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S056





S058 · implies操作前

right modulus:original representative k=25 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S057





S059 · implies操作前

right modulus representative26:original nonnegative Euclidean inputs=[26, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[26, 41, 0, 26], [41, 26, 1, 15], [26, 15, 1, 11], [15, 11, 1, 4], [11, 4, 2, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S058





S060 · implies操作前

right modulus:original representative k=26 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S059





S061 · implies操作前

right modulus representative27:original nonnegative Euclidean inputs=[27, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[27, 41, 0, 27], [41, 27, 1, 14], [27, 14, 1, 13], [14, 13, 1, 1], [13, 1, 13, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S060





S062 · implies操作前

right modulus:original representative k=27 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S061





S063 · implies操作前

right modulus representative28:original nonnegative Euclidean inputs=[28, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[28, 41, 0, 28], [41, 28, 1, 13], [28, 13, 2, 2], [13, 2, 6, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S062





S064 · implies操作前

right modulus:original representative k=28 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S063





S065 · implies操作前

right modulus representative29:original nonnegative Euclidean inputs=[29, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[29, 41, 0, 29], [41, 29, 1, 12], [29, 12, 2, 5], [12, 5, 2, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S064





S066 · implies操作前

right modulus:original representative k=29 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S065





S067 · implies操作前

right modulus representative30:original nonnegative Euclidean inputs=[30, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[30, 41, 0, 30], [41, 30, 1, 11], [30, 11, 2, 8], [11, 8, 1, 3], [8, 3, 2, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S066





S068 · implies操作前

right modulus:original representative k=30 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S067





S069 · implies操作前

right modulus representative31:original nonnegative Euclidean inputs=[31, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[31, 41, 0, 31], [41, 31, 1, 10], [31, 10, 3, 1], [10, 1, 10, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S068





S070 · implies操作前

right modulus:original representative k=31 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S069





S071 · implies操作前

right modulus representative32:original nonnegative Euclidean inputs=[32, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[32, 41, 0, 32], [41, 32, 1, 9], [32, 9, 3, 5], [9, 5, 1, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S070





S072 · implies操作前

right modulus:original representative k=32 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S071





S073 · implies操作前

right modulus representative33:original nonnegative Euclidean inputs=[33, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[33, 41, 0, 33], [41, 33, 1, 8], [33, 8, 4, 1], [8, 1, 8, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S072





S074 · implies操作前

right modulus:original representative k=33 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S073





S075 · implies操作前

right modulus representative34:original nonnegative Euclidean inputs=[34, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[34, 41, 0, 34], [41, 34, 1, 7], [34, 7, 4, 6], [7, 6, 1, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S074





S076 · implies操作前

right modulus:original representative k=34 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S075





S077 · implies操作前

right modulus representative35:original nonnegative Euclidean inputs=[35, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[35, 41, 0, 35], [41, 35, 1, 6], [35, 6, 5, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S076





S078 · implies操作前

right modulus:original representative k=35 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S077





S079 · implies操作前

right modulus representative36:original nonnegative Euclidean inputs=[36, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[36, 41, 0, 36], [41, 36, 1, 5], [36, 5, 7, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S078





S080 · implies操作前

right modulus:original representative k=36 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S079





S081 · implies操作前

right modulus representative37:original nonnegative Euclidean inputs=[37, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[37, 41, 0, 37], [41, 37, 1, 4], [37, 4, 9, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S080





S082 · implies操作前

right modulus:original representative k=37 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S081





S083 · implies操作前

right modulus representative38:original nonnegative Euclidean inputs=[38, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[38, 41, 0, 38], [41, 38, 1, 3], [38, 3, 12, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S082





S084 · implies操作前

right modulus:original representative k=38 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S083





S085 · implies操作前

right modulus representative39:original nonnegative Euclidean inputs=[39, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[39, 41, 0, 39], [41, 39, 1, 2], [39, 2, 19, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S084





S086 · implies操作前

right modulus:original representative k=39 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S085





S087 · implies操作前

right modulus representative40:original nonnegative Euclidean inputs=[40, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[40, 41, 0, 40], [41, 40, 1, 1], [40, 1, 40, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S086





S088 · implies操作前

right modulus:original representative k=40 in1..41;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S087





S089 · implies操作前

right modulus representative41:original nonnegative Euclidean inputs=[41, 41]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[41, 41, 1, 0]];terminal positive gcd=41

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S088





S090 · implies操作前

right modulus:original representative k=41 in1..41;verified gcd(k,n)=41

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S089





S091 · calculation操作前

right modulus exact coprime indicator count := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)

操作後

right modulus exact coprime indicator count = 40

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090





S092 · implies操作前

right modulus:complete representative range1..41;all selected coprime representatives=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40]

操作後

phi(41)=40;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S091





S093 · implies操作前

product modulus representative1:original nonnegative Euclidean inputs=[1, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[1, 82, 0, 1], [82, 1, 82, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S092





S094 · implies操作前

product modulus:original representative k=1 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S093





S095 · implies操作前

product modulus representative2:original nonnegative Euclidean inputs=[2, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[2, 82, 0, 2], [82, 2, 41, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S094





S096 · implies操作前

product modulus:original representative k=2 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S095





S097 · implies操作前

product modulus representative3:original nonnegative Euclidean inputs=[3, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[3, 82, 0, 3], [82, 3, 27, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S096





S098 · implies操作前

product modulus:original representative k=3 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S097





S099 · implies操作前

product modulus representative4:original nonnegative Euclidean inputs=[4, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[4, 82, 0, 4], [82, 4, 20, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S098





S100 · implies操作前

product modulus:original representative k=4 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S099





S101 · implies操作前

product modulus representative5:original nonnegative Euclidean inputs=[5, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[5, 82, 0, 5], [82, 5, 16, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S100





S102 · implies操作前

product modulus:original representative k=5 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S101





S103 · implies操作前

product modulus representative6:original nonnegative Euclidean inputs=[6, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[6, 82, 0, 6], [82, 6, 13, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S102





S104 · implies操作前

product modulus:original representative k=6 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S103





S105 · implies操作前

product modulus representative7:original nonnegative Euclidean inputs=[7, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[7, 82, 0, 7], [82, 7, 11, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S104





S106 · implies操作前

product modulus:original representative k=7 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S105





S107 · implies操作前

product modulus representative8:original nonnegative Euclidean inputs=[8, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[8, 82, 0, 8], [82, 8, 10, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S106





S108 · implies操作前

product modulus:original representative k=8 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S107





S109 · implies操作前

product modulus representative9:original nonnegative Euclidean inputs=[9, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[9, 82, 0, 9], [82, 9, 9, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S108





S110 · implies操作前

product modulus:original representative k=9 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S109





S111 · implies操作前

product modulus representative10:original nonnegative Euclidean inputs=[10, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[10, 82, 0, 10], [82, 10, 8, 2], [10, 2, 5, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S110





S112 · implies操作前

product modulus:original representative k=10 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S111





S113 · implies操作前

product modulus representative11:original nonnegative Euclidean inputs=[11, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[11, 82, 0, 11], [82, 11, 7, 5], [11, 5, 2, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S112





S114 · implies操作前

product modulus:original representative k=11 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S113





S115 · implies操作前

product modulus representative12:original nonnegative Euclidean inputs=[12, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[12, 82, 0, 12], [82, 12, 6, 10], [12, 10, 1, 2], [10, 2, 5, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S114





S116 · implies操作前

product modulus:original representative k=12 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S115





S117 · implies操作前

product modulus representative13:original nonnegative Euclidean inputs=[13, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[13, 82, 0, 13], [82, 13, 6, 4], [13, 4, 3, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S116





S118 · implies操作前

product modulus:original representative k=13 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S117





S119 · implies操作前

product modulus representative14:original nonnegative Euclidean inputs=[14, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[14, 82, 0, 14], [82, 14, 5, 12], [14, 12, 1, 2], [12, 2, 6, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S118





S120 · implies操作前

product modulus:original representative k=14 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S119





S121 · implies操作前

product modulus representative15:original nonnegative Euclidean inputs=[15, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[15, 82, 0, 15], [82, 15, 5, 7], [15, 7, 2, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S120





S122 · implies操作前

product modulus:original representative k=15 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S121





S123 · implies操作前

product modulus representative16:original nonnegative Euclidean inputs=[16, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[16, 82, 0, 16], [82, 16, 5, 2], [16, 2, 8, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S122





S124 · implies操作前

product modulus:original representative k=16 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S123





S125 · implies操作前

product modulus representative17:original nonnegative Euclidean inputs=[17, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[17, 82, 0, 17], [82, 17, 4, 14], [17, 14, 1, 3], [14, 3, 4, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S124





S126 · implies操作前

product modulus:original representative k=17 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S125





S127 · implies操作前

product modulus representative18:original nonnegative Euclidean inputs=[18, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[18, 82, 0, 18], [82, 18, 4, 10], [18, 10, 1, 8], [10, 8, 1, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S126





S128 · implies操作前

product modulus:original representative k=18 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S127





S129 · implies操作前

product modulus representative19:original nonnegative Euclidean inputs=[19, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[19, 82, 0, 19], [82, 19, 4, 6], [19, 6, 3, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S128





S130 · implies操作前

product modulus:original representative k=19 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S129





S131 · implies操作前

product modulus representative20:original nonnegative Euclidean inputs=[20, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[20, 82, 0, 20], [82, 20, 4, 2], [20, 2, 10, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S130





S132 · implies操作前

product modulus:original representative k=20 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S131





S133 · implies操作前

product modulus representative21:original nonnegative Euclidean inputs=[21, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[21, 82, 0, 21], [82, 21, 3, 19], [21, 19, 1, 2], [19, 2, 9, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S132





S134 · implies操作前

product modulus:original representative k=21 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S133





S135 · implies操作前

product modulus representative22:original nonnegative Euclidean inputs=[22, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[22, 82, 0, 22], [82, 22, 3, 16], [22, 16, 1, 6], [16, 6, 2, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S134





S136 · implies操作前

product modulus:original representative k=22 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S135





S137 · implies操作前

product modulus representative23:original nonnegative Euclidean inputs=[23, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[23, 82, 0, 23], [82, 23, 3, 13], [23, 13, 1, 10], [13, 10, 1, 3], [10, 3, 3, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S136





S138 · implies操作前

product modulus:original representative k=23 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S137





S139 · implies操作前

product modulus representative24:original nonnegative Euclidean inputs=[24, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[24, 82, 0, 24], [82, 24, 3, 10], [24, 10, 2, 4], [10, 4, 2, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S138





S140 · implies操作前

product modulus:original representative k=24 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S139





S141 · implies操作前

product modulus representative25:original nonnegative Euclidean inputs=[25, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[25, 82, 0, 25], [82, 25, 3, 7], [25, 7, 3, 4], [7, 4, 1, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S140





S142 · implies操作前

product modulus:original representative k=25 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S141





S143 · implies操作前

product modulus representative26:original nonnegative Euclidean inputs=[26, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[26, 82, 0, 26], [82, 26, 3, 4], [26, 4, 6, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S142





S144 · implies操作前

product modulus:original representative k=26 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S143





S145 · implies操作前

product modulus representative27:original nonnegative Euclidean inputs=[27, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[27, 82, 0, 27], [82, 27, 3, 1], [27, 1, 27, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S144





S146 · implies操作前

product modulus:original representative k=27 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S145





S147 · implies操作前

product modulus representative28:original nonnegative Euclidean inputs=[28, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[28, 82, 0, 28], [82, 28, 2, 26], [28, 26, 1, 2], [26, 2, 13, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S146





S148 · implies操作前

product modulus:original representative k=28 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S147





S149 · implies操作前

product modulus representative29:original nonnegative Euclidean inputs=[29, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[29, 82, 0, 29], [82, 29, 2, 24], [29, 24, 1, 5], [24, 5, 4, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S148





S150 · implies操作前

product modulus:original representative k=29 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S149





S151 · implies操作前

product modulus representative30:original nonnegative Euclidean inputs=[30, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[30, 82, 0, 30], [82, 30, 2, 22], [30, 22, 1, 8], [22, 8, 2, 6], [8, 6, 1, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S150





S152 · implies操作前

product modulus:original representative k=30 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S151





S153 · implies操作前

product modulus representative31:original nonnegative Euclidean inputs=[31, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[31, 82, 0, 31], [82, 31, 2, 20], [31, 20, 1, 11], [20, 11, 1, 9], [11, 9, 1, 2], [9, 2, 4, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S152





S154 · implies操作前

product modulus:original representative k=31 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S153





S155 · implies操作前

product modulus representative32:original nonnegative Euclidean inputs=[32, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[32, 82, 0, 32], [82, 32, 2, 18], [32, 18, 1, 14], [18, 14, 1, 4], [14, 4, 3, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S154





S156 · implies操作前

product modulus:original representative k=32 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S155





S157 · implies操作前

product modulus representative33:original nonnegative Euclidean inputs=[33, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[33, 82, 0, 33], [82, 33, 2, 16], [33, 16, 2, 1], [16, 1, 16, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S156





S158 · implies操作前

product modulus:original representative k=33 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S157





S159 · implies操作前

product modulus representative34:original nonnegative Euclidean inputs=[34, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[34, 82, 0, 34], [82, 34, 2, 14], [34, 14, 2, 6], [14, 6, 2, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S158





S160 · implies操作前

product modulus:original representative k=34 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S159





S161 · implies操作前

product modulus representative35:original nonnegative Euclidean inputs=[35, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[35, 82, 0, 35], [82, 35, 2, 12], [35, 12, 2, 11], [12, 11, 1, 1], [11, 1, 11, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S160





S162 · implies操作前

product modulus:original representative k=35 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S161





S163 · implies操作前

product modulus representative36:original nonnegative Euclidean inputs=[36, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[36, 82, 0, 36], [82, 36, 2, 10], [36, 10, 3, 6], [10, 6, 1, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S162





S164 · implies操作前

product modulus:original representative k=36 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S163





S165 · implies操作前

product modulus representative37:original nonnegative Euclidean inputs=[37, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[37, 82, 0, 37], [82, 37, 2, 8], [37, 8, 4, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S164





S166 · implies操作前

product modulus:original representative k=37 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S165





S167 · implies操作前

product modulus representative38:original nonnegative Euclidean inputs=[38, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[38, 82, 0, 38], [82, 38, 2, 6], [38, 6, 6, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S166





S168 · implies操作前

product modulus:original representative k=38 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S167





S169 · implies操作前

product modulus representative39:original nonnegative Euclidean inputs=[39, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[39, 82, 0, 39], [82, 39, 2, 4], [39, 4, 9, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S168





S170 · implies操作前

product modulus:original representative k=39 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S169





S171 · implies操作前

product modulus representative40:original nonnegative Euclidean inputs=[40, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[40, 82, 0, 40], [82, 40, 2, 2], [40, 2, 20, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S170





S172 · implies操作前

product modulus:original representative k=40 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S171





S173 · implies操作前

product modulus representative41:original nonnegative Euclidean inputs=[41, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[41, 82, 0, 41], [82, 41, 2, 0]];terminal positive gcd=41

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S172





S174 · implies操作前

product modulus:original representative k=41 in1..82;verified gcd(k,n)=41

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S173





S175 · implies操作前

product modulus representative42:original nonnegative Euclidean inputs=[42, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[42, 82, 0, 42], [82, 42, 1, 40], [42, 40, 1, 2], [40, 2, 20, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S174





S176 · implies操作前

product modulus:original representative k=42 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S175





S177 · implies操作前

product modulus representative43:original nonnegative Euclidean inputs=[43, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[43, 82, 0, 43], [82, 43, 1, 39], [43, 39, 1, 4], [39, 4, 9, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S176





S178 · implies操作前

product modulus:original representative k=43 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S177





S179 · implies操作前

product modulus representative44:original nonnegative Euclidean inputs=[44, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[44, 82, 0, 44], [82, 44, 1, 38], [44, 38, 1, 6], [38, 6, 6, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S178





S180 · implies操作前

product modulus:original representative k=44 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S179





S181 · implies操作前

product modulus representative45:original nonnegative Euclidean inputs=[45, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[45, 82, 0, 45], [82, 45, 1, 37], [45, 37, 1, 8], [37, 8, 4, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S180





S182 · implies操作前

product modulus:original representative k=45 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S181





S183 · implies操作前

product modulus representative46:original nonnegative Euclidean inputs=[46, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[46, 82, 0, 46], [82, 46, 1, 36], [46, 36, 1, 10], [36, 10, 3, 6], [10, 6, 1, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S182





S184 · implies操作前

product modulus:original representative k=46 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S183





S185 · implies操作前

product modulus representative47:original nonnegative Euclidean inputs=[47, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[47, 82, 0, 47], [82, 47, 1, 35], [47, 35, 1, 12], [35, 12, 2, 11], [12, 11, 1, 1], [11, 1, 11, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S184





S186 · implies操作前

product modulus:original representative k=47 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S185





S187 · implies操作前

product modulus representative48:original nonnegative Euclidean inputs=[48, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[48, 82, 0, 48], [82, 48, 1, 34], [48, 34, 1, 14], [34, 14, 2, 6], [14, 6, 2, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S186





S188 · implies操作前

product modulus:original representative k=48 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S187





S189 · implies操作前

product modulus representative49:original nonnegative Euclidean inputs=[49, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[49, 82, 0, 49], [82, 49, 1, 33], [49, 33, 1, 16], [33, 16, 2, 1], [16, 1, 16, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S188





S190 · implies操作前

product modulus:original representative k=49 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S189





S191 · implies操作前

product modulus representative50:original nonnegative Euclidean inputs=[50, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[50, 82, 0, 50], [82, 50, 1, 32], [50, 32, 1, 18], [32, 18, 1, 14], [18, 14, 1, 4], [14, 4, 3, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S190





S192 · implies操作前

product modulus:original representative k=50 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S191





S193 · implies操作前

product modulus representative51:original nonnegative Euclidean inputs=[51, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[51, 82, 0, 51], [82, 51, 1, 31], [51, 31, 1, 20], [31, 20, 1, 11], [20, 11, 1, 9], [11, 9, 1, 2], [9, 2, 4, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S192





S194 · implies操作前

product modulus:original representative k=51 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S193





S195 · implies操作前

product modulus representative52:original nonnegative Euclidean inputs=[52, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[52, 82, 0, 52], [82, 52, 1, 30], [52, 30, 1, 22], [30, 22, 1, 8], [22, 8, 2, 6], [8, 6, 1, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S194





S196 · implies操作前

product modulus:original representative k=52 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S195





S197 · implies操作前

product modulus representative53:original nonnegative Euclidean inputs=[53, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[53, 82, 0, 53], [82, 53, 1, 29], [53, 29, 1, 24], [29, 24, 1, 5], [24, 5, 4, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S196





S198 · implies操作前

product modulus:original representative k=53 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S197





S199 · implies操作前

product modulus representative54:original nonnegative Euclidean inputs=[54, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[54, 82, 0, 54], [82, 54, 1, 28], [54, 28, 1, 26], [28, 26, 1, 2], [26, 2, 13, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S198





S200 · implies操作前

product modulus:original representative k=54 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S199





S201 · implies操作前

product modulus representative55:original nonnegative Euclidean inputs=[55, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[55, 82, 0, 55], [82, 55, 1, 27], [55, 27, 2, 1], [27, 1, 27, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S200





S202 · implies操作前

product modulus:original representative k=55 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S201





S203 · implies操作前

product modulus representative56:original nonnegative Euclidean inputs=[56, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[56, 82, 0, 56], [82, 56, 1, 26], [56, 26, 2, 4], [26, 4, 6, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S202





S204 · implies操作前

product modulus:original representative k=56 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S203





S205 · implies操作前

product modulus representative57:original nonnegative Euclidean inputs=[57, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[57, 82, 0, 57], [82, 57, 1, 25], [57, 25, 2, 7], [25, 7, 3, 4], [7, 4, 1, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S204





S206 · implies操作前

product modulus:original representative k=57 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S205





S207 · implies操作前

product modulus representative58:original nonnegative Euclidean inputs=[58, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[58, 82, 0, 58], [82, 58, 1, 24], [58, 24, 2, 10], [24, 10, 2, 4], [10, 4, 2, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S206





S208 · implies操作前

product modulus:original representative k=58 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S207





S209 · implies操作前

product modulus representative59:original nonnegative Euclidean inputs=[59, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[59, 82, 0, 59], [82, 59, 1, 23], [59, 23, 2, 13], [23, 13, 1, 10], [13, 10, 1, 3], [10, 3, 3, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S208





S210 · implies操作前

product modulus:original representative k=59 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S209





S211 · implies操作前

product modulus representative60:original nonnegative Euclidean inputs=[60, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[60, 82, 0, 60], [82, 60, 1, 22], [60, 22, 2, 16], [22, 16, 1, 6], [16, 6, 2, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S210





S212 · implies操作前

product modulus:original representative k=60 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S211





S213 · implies操作前

product modulus representative61:original nonnegative Euclidean inputs=[61, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[61, 82, 0, 61], [82, 61, 1, 21], [61, 21, 2, 19], [21, 19, 1, 2], [19, 2, 9, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S212





S214 · implies操作前

product modulus:original representative k=61 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S213





S215 · implies操作前

product modulus representative62:original nonnegative Euclidean inputs=[62, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[62, 82, 0, 62], [82, 62, 1, 20], [62, 20, 3, 2], [20, 2, 10, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S214





S216 · implies操作前

product modulus:original representative k=62 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S215





S217 · implies操作前

product modulus representative63:original nonnegative Euclidean inputs=[63, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[63, 82, 0, 63], [82, 63, 1, 19], [63, 19, 3, 6], [19, 6, 3, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S216





S218 · implies操作前

product modulus:original representative k=63 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S217





S219 · implies操作前

product modulus representative64:original nonnegative Euclidean inputs=[64, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[64, 82, 0, 64], [82, 64, 1, 18], [64, 18, 3, 10], [18, 10, 1, 8], [10, 8, 1, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S218





S220 · implies操作前

product modulus:original representative k=64 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S219





S221 · implies操作前

product modulus representative65:original nonnegative Euclidean inputs=[65, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[65, 82, 0, 65], [82, 65, 1, 17], [65, 17, 3, 14], [17, 14, 1, 3], [14, 3, 4, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S220





S222 · implies操作前

product modulus:original representative k=65 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S221





S223 · implies操作前

product modulus representative66:original nonnegative Euclidean inputs=[66, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[66, 82, 0, 66], [82, 66, 1, 16], [66, 16, 4, 2], [16, 2, 8, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S222





S224 · implies操作前

product modulus:original representative k=66 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S223





S225 · implies操作前

product modulus representative67:original nonnegative Euclidean inputs=[67, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[67, 82, 0, 67], [82, 67, 1, 15], [67, 15, 4, 7], [15, 7, 2, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S224





S226 · implies操作前

product modulus:original representative k=67 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S225





S227 · implies操作前

product modulus representative68:original nonnegative Euclidean inputs=[68, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[68, 82, 0, 68], [82, 68, 1, 14], [68, 14, 4, 12], [14, 12, 1, 2], [12, 2, 6, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S226





S228 · implies操作前

product modulus:original representative k=68 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S227





S229 · implies操作前

product modulus representative69:original nonnegative Euclidean inputs=[69, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[69, 82, 0, 69], [82, 69, 1, 13], [69, 13, 5, 4], [13, 4, 3, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S228





S230 · implies操作前

product modulus:original representative k=69 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S229





S231 · implies操作前

product modulus representative70:original nonnegative Euclidean inputs=[70, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[70, 82, 0, 70], [82, 70, 1, 12], [70, 12, 5, 10], [12, 10, 1, 2], [10, 2, 5, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S230





S232 · implies操作前

product modulus:original representative k=70 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S231





S233 · implies操作前

product modulus representative71:original nonnegative Euclidean inputs=[71, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[71, 82, 0, 71], [82, 71, 1, 11], [71, 11, 6, 5], [11, 5, 2, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S232





S234 · implies操作前

product modulus:original representative k=71 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S233





S235 · implies操作前

product modulus representative72:original nonnegative Euclidean inputs=[72, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[72, 82, 0, 72], [82, 72, 1, 10], [72, 10, 7, 2], [10, 2, 5, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S234





S236 · implies操作前

product modulus:original representative k=72 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S235





S237 · implies操作前

product modulus representative73:original nonnegative Euclidean inputs=[73, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[73, 82, 0, 73], [82, 73, 1, 9], [73, 9, 8, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S236





S238 · implies操作前

product modulus:original representative k=73 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S237





S239 · implies操作前

product modulus representative74:original nonnegative Euclidean inputs=[74, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[74, 82, 0, 74], [82, 74, 1, 8], [74, 8, 9, 2], [8, 2, 4, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S238





S240 · implies操作前

product modulus:original representative k=74 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S239





S241 · implies操作前

product modulus representative75:original nonnegative Euclidean inputs=[75, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[75, 82, 0, 75], [82, 75, 1, 7], [75, 7, 10, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S240





S242 · implies操作前

product modulus:original representative k=75 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S241





S243 · implies操作前

product modulus representative76:original nonnegative Euclidean inputs=[76, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[76, 82, 0, 76], [82, 76, 1, 6], [76, 6, 12, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S242





S244 · implies操作前

product modulus:original representative k=76 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S243





S245 · implies操作前

product modulus representative77:original nonnegative Euclidean inputs=[77, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[77, 82, 0, 77], [82, 77, 1, 5], [77, 5, 15, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S244





S246 · implies操作前

product modulus:original representative k=77 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S245





S247 · implies操作前

product modulus representative78:original nonnegative Euclidean inputs=[78, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[78, 82, 0, 78], [82, 78, 1, 4], [78, 4, 19, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S246





S248 · implies操作前

product modulus:original representative k=78 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S247





S249 · implies操作前

product modulus representative79:original nonnegative Euclidean inputs=[79, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[79, 82, 0, 79], [82, 79, 1, 3], [79, 3, 26, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S248





S250 · implies操作前

product modulus:original representative k=79 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S249





S251 · implies操作前

product modulus representative80:original nonnegative Euclidean inputs=[80, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[80, 82, 0, 80], [82, 80, 1, 2], [80, 2, 40, 0]];terminal positive gcd=2

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S250





S252 · implies操作前

product modulus:original representative k=80 in1..82;verified gcd(k,n)=2

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S251





S253 · implies操作前

product modulus representative81:original nonnegative Euclidean inputs=[81, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[81, 82, 0, 81], [82, 81, 1, 1], [81, 1, 81, 0]];terminal positive gcd=1

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S252





S254 · implies操作前

product modulus:original representative k=81 in1..82;verified gcd(k,n)=1

操作後

coprime indicator=1;include representative=是

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S253





S255 · implies操作前

product modulus representative82:original nonnegative Euclidean inputs=[82, 82]

操作後

division rows[a,b,q,r] with a=q*b+r and0<=r<b=[[82, 82, 1, 0]];terminal positive gcd=82

條件：無

每列明列下一步a=q·b+r及餘數界，(a,b)與(b,r)有同一批公因數；反覆替換直到第二項0，最後非零數即gcd。不是浮點近似或只報答案。

步驟識別與依賴規則：totient_Euclidean_division_chain_preserves_common_divisors · 依賴：G001, S254





S256 · implies操作前

product modulus:original representative k=82 in1..82;verified gcd(k,n)=82

操作後

coprime indicator=0;include representative=否

條件：無

按1到n完整且不重複地測gcd=1，只把合格者列入。n=1時代表是1且gcd(1,1)=1，不換成另一個0到n−1清單。

步驟識別與依賴規則：totient_every_original_representative_unit_gcd_test · 依賴：G001, S255





S257 · calculation操作前

product modulus exact coprime indicator count := sum(1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)

操作後

product modulus exact coprime indicator count = 40

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S256





S258 · implies操作前

product modulus:complete representative range1..82;all selected coprime representatives=[1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81]

操作後

phi(82)=40;representatives_1_through_n

條件：無

全部指示量相加得到精確個數，這是指定n的完整有限計數，不從幾個樣本外推一般公式。

步驟識別與依賴規則：totient_complete_finite_count_not_sample_formula · 依賴：G001, S257





S259 · calculation操作前

totient supplied instance product of counts := mul(1, 40)

操作後

totient supplied instance product of counts = 40

條件：無

依原始欄位與已核中間量精確計算，保留索引、分母、符號與運算角色。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S258





S260 · implies操作前

original coprime inputs=[2, 41];gcd=1;product modulus=82;exact totients=[1, 40, 40]

操作後

phi(m)*phi(n)=40;same supplied-instance equality=是;instance_only_with_coprimality

條件：無

先核互質且三個模數都在來源允許域，再完整計三個φ並比較。這只核當前實例；未互質不套用本題協定，也不把數值相等當一般乘法性定理的證明。

步驟識別與依賴規則：totient_coprime_instance_not_unrestricted_multiplicativity_proof · 依賴：G001, S259









## 逐步反向核對


- S260 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S259 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 totient supplied instance product of counts，不以小數近似替代。
- S258 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S257 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 product modulus exact coprime indicator count，不以小數近似替代。
- S256 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S255 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S254 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S253 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S252 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S251 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S250 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S249 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S248 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S247 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S246 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S245 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S244 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S243 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S242 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S241 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S240 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S239 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S238 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S237 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S236 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S235 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S234 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S233 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S232 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S231 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S230 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S229 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S228 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S227 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S226 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S225 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S224 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S223 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S222 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S221 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S220 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S219 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S218 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S217 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S216 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S215 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S214 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S213 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S212 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S211 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S210 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S209 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S208 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S207 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S206 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S205 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S204 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S203 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S202 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S201 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S200 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S199 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S198 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S197 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S196 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S195 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S194 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S193 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S192 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S191 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S190 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S189 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S188 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S187 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S186 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S185 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S184 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S183 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S182 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S181 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S180 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S179 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S178 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S177 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S176 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S175 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S174 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S173 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S172 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S171 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S170 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S169 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S168 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S167 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S166 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S165 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S164 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S163 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S162 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S161 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S160 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S159 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S158 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S157 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S156 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S155 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S154 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S153 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S152 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S151 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S150 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S149 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S148 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S147 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S146 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S145 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S144 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S143 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S142 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S141 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S140 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S139 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S137 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S136 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S135 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S134 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S133 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S132 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S131 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S130 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S129 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S128 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S127 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S125 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S122 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S121 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S119 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S115 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S114 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S112 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S109 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S107 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S105 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 totient multiplicativity original modulus product，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(2, 41, 1, 40, 40, 40, 是, instance_only_with_coprimality)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 4eb21ea63aa8ebf62b5e767c89c4e5d88794947fc1b7be8f6d3e84e2c287d28a
- candidate record SHA-256: a66c692fb98f3545aab0f8fcf14227d64ba83e84f56c66d2e872c17851b1069b
- semantic review receipt SHA-256: d64b4e08bda1c25dd393b7c7e4140a8734610a9b84ae47e6f0adcff7f30a0b8e
- question-first witness SHA-256: 790fd6623c04ba52a6ffb0a95cea52b532a02b23bb9453926d2d9f7a825fdec8
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261101-r06-euler-totient-function-0095.json)