# 第 17196 題：線性映射的核 [返回所在分頁 86](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/86/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261102-r02-linear-map-kernel-foundations/#q-20261014-advance-20261102-r02-linear-map-kernel-0071) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0033-17196 · q-20261014-advance-20261102-r02-linear-map-kernel-0071 ## 原題與已知條件 同一精確2×2線性映射T:R²到R²。操作=kernel-nullity；資料={"matrix":[[1,21],[2,42]]}。請依 [rank,nullity,kernel_basis] 欄序回答。 - G001 — 同一精確2×2線性映射T:R²到R²。操作=kernel-nullity；資料={"matrix":[[1,21],[2,42]]}。請依 [rank,nullity,kernel_basis] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-map-kernel](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-map-kernel/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 real map determinant diagonal product := mul(1, 42) 操作後 real map determinant diagonal product = 42 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 real map determinant off-diagonal product := mul(21, 2) 操作後 real map determinant off-diagonal product = 42 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 real map exact determinant := sub(42, 42) 操作後 real map exact determinant = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 same ordered integer matrix=[[1, 21], [2, 42]];usual real map T:R2 to R2;original columns=[[1, 2], [21, 42]] 操作後 exact determinant=0;rank=1 條件：無 非零det給秩2；det=0時還要看是否全零，才分秩0或1。固定同一矩陣與通常實向量空間，不把列當欄或自動把像當整個codomain。 步驟識別與依賴規則：real_map_same_matrix_det_and_nonzero_rank_cases · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 primitive kernel first coordinate := div(21, 1) 操作後 primitive kernel first coordinate = 21 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 primitive kernel second coordinate := div(-1, 1) 操作後 primitive kernel second coordinate = -1 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 primitive kernel canonical sign coordinate0 := mul(1, 21) 操作後 primitive kernel canonical sign coordinate0 = 21 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 primitive kernel canonical sign coordinate1 := mul(1, -1) 操作後 primitive kernel canonical sign coordinate1 = -1 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 other row dependence factor := div(2, 1) 操作後 other row dependence factor = 2 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 other row dependence coordinate0 := mul(2, 1) 操作後 other row dependence coordinate0 = 2 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 other row dependence coordinate1 := mul(2, 21) 操作後 other row dependence coordinate1 = 42 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 FIRST nonzero original row index=0;row=[1, 21];gcd=1;raw integer kernel direction=[21, -1];canonical sign=1 操作後 primitive kernel basis=[[21, -1]];other original row=[2, 42]=(2)*selected row 條件：無 用首個非零原列解u·x+v·y=0，除gcd得到primitive整數方向，再讓第一個非零座標為正。已核另一列為它的倍數，所以兩列方程等價於這一個，不只憑det零猜解集。 步驟識別與依賴規則：real_map_rank1_kernel_canonical_row_and_full_equation · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 canonical kernel basis vector row0 first term := mul(1, 21) 操作後 canonical kernel basis vector row0 first term = 21 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 canonical kernel basis vector row0 second term := mul(21, -1) 操作後 canonical kernel basis vector row0 second term = -21 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 canonical kernel basis vector image coordinate0 := sum(21, -21) 操作後 canonical kernel basis vector image coordinate0 = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 canonical kernel basis vector row1 first term := mul(2, 21) 操作後 canonical kernel basis vector row1 first term = 42 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 canonical kernel basis vector row1 second term := mul(42, -1) 操作後 canonical kernel basis vector row1 second term = -42 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 canonical kernel basis vector image coordinate1 := sum(42, -42) 操作後 canonical kernel basis vector image coordinate1 = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 one nonzero row equation(1)*x+(21)*y=0;nonzero verified kernel vector=[21, -1];chosen nonzero vector coordinate=0 操作後 EVERY real solution is lambda*[21, -1];choose lambda=solution_coordinate0/(21);conversely every real lambda multiple maps to0 條件：無 若w0非零，v亦非零，取λ=x/w0後由兩個零方程相減得v(y−λw1)=0，故y=λw1。若w0=0，則v=0、u非零，方程強制x=0而y任意。反向由線性性得每個實倍都在kernel，故不是整數格點清單。 步驟識別與依賴規則：real_map_rank1_kernel_all_real_solutions_not_one_test · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 other column dependence factor := div(21, 1) 操作後 other column dependence factor = 21 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 other column dependence coordinate0 := mul(21, 1) 操作後 other column dependence coordinate0 = 21 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 other column dependence coordinate1 := mul(21, 2) 操作後 other column dependence coordinate1 = 42 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 FIRST nonzero ORIGINAL column index=0;basis vector kept unnormalized=[1, 2];other original column=[21, 42]=(21)*basis 操作後 for ANY real(s,t),M(s,t)=((1)*s+(21)*t)*basis;EVERY lambda*basis obtained from input lambda*e0 條件：無 每個輸出是原兩欄的線性組合，已核它們同在此一欄的span；反向把λ放在該原欄的輸入座標即得到λ倍basis。故像恰為完整實span，不能把原欄改成primitive或拿列代替。 步驟識別與依賴規則：real_map_rank1_image_both_inclusions_original_column · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 real kernel source dimension minus rank := sub(2, 1) 操作後 real kernel source dimension minus rank = 1 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 same real map rank=1;full kernel basis=[[21, -1]];full image basis=[[1, 2]] 操作後 nullity=1;image basis cardinality=1;rank plus nullity=2 條件：無 這些是已證完整實空間的basis個數，不是搜尋格點數；rank、nullity與像basis數量分開保留，同一來源維度為2。 步驟識別與依賴規則：real_map_full_space_basis_counts_not_grid_counts · 依賴：G001, S024 ## 逐步反向核對 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real kernel source dimension minus rank，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other column dependence coordinate1，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other column dependence coordinate0，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other column dependence factor，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector image coordinate1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector row1 second term，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector row1 first term，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector image coordinate0，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector row0 second term，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 canonical kernel basis vector row0 first term，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other row dependence coordinate1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other row dependence coordinate0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 other row dependence factor，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive kernel canonical sign coordinate1，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive kernel canonical sign coordinate0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive kernel second coordinate，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 primitive kernel first coordinate，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map exact determinant，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map determinant off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map determinant diagonal product，不以小數近似替代。 ## 結論 (1, 1, [[21, -1]]) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0816f4b3f8e528052a0a8edffecb81ed9c8010f50db864e50a99be409d8bfe7b - candidate record SHA-256: f9b221cba81a18735ec22e5676a8b0708afccccf95e0e9586767f2cf76577b11 - semantic review receipt SHA-256: 4a0957a15bb33fbe5f663e37a8babf46ab5a291eb5d1dfa3bf9045204cd43ec3 - question-first witness SHA-256: 22a8506bcfa34c503216083d1a8e813d61aad22dbc81589c0d41089c528a7f93 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261102-r02-linear-map-kernel-0071.json)