# 第 17031 題：線性映射的像 [返回所在分頁 86](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/86/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261102-r03-linear-map-image-foundations/#q-20261014-advance-20261102-r03-linear-map-image-0081) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0033-17031 · q-20261014-advance-20261102-r03-linear-map-image-0081 ## 原題與已知條件 同一精確2×2線性映射與column-span證書。操作=image-bounded-search-boundary；資料={"matrix":[[2,0],[0,2]],"target":[11,1],"bound":1}。請依 [target,bound,integer_witnesses,global_membership,boundary] 欄序回答。 - G001 — 同一精確2×2線性映射與column-span證書。操作=image-bounded-search-boundary；資料={"matrix":[[2,0],[0,2]],"target":[11,1],"bound":1}。請依 [target,bound,integer_witnesses,global_membership,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-map-image](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-map-image/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 real map determinant diagonal product := mul(2, 2) 操作後 real map determinant diagonal product = 4 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 real map determinant off-diagonal product := mul(0, 0) 操作後 real map determinant off-diagonal product = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 real map exact determinant := sub(4, 0) 操作後 real map exact determinant = 4 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 same ordered integer matrix=[[2, 0], [0, 2]];usual real map T:R2 to R2;original columns=[[2, 0], [0, 2]] 操作後 exact determinant=4;rank=2 條件：無 非零det給秩2；det=0時還要看是否全零，才分秩0或1。固定同一矩陣與通常實向量空間，不把列當欄或自動把像當整個codomain。 步驟識別與依賴規則：real_map_same_matrix_det_and_nonzero_rank_cases · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 first adjugate column row0 first term := mul(2, 2) 操作後 first adjugate column row0 first term = 4 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 first adjugate column row0 second term := mul(0, 0) 操作後 first adjugate column row0 second term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 first adjugate column image coordinate0 := sum(4, 0) 操作後 first adjugate column image coordinate0 = 4 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 first adjugate column row1 first term := mul(0, 2) 操作後 first adjugate column row1 first term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 first adjugate column row1 second term := mul(2, 0) 操作後 first adjugate column row1 second term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 first adjugate column image coordinate1 := sum(0, 0) 操作後 first adjugate column image coordinate1 = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 second adjugate column row0 first term := mul(2, 0) 操作後 second adjugate column row0 first term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 second adjugate column row0 second term := mul(0, 2) 操作後 second adjugate column row0 second term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 second adjugate column image coordinate0 := sum(0, 0) 操作後 second adjugate column image coordinate0 = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 second adjugate column row1 first term := mul(0, 0) 操作後 second adjugate column row1 first term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 second adjugate column row1 second term := mul(2, 2) 操作後 second adjugate column row1 second term = 4 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 second adjugate column image coordinate1 := sum(0, 4) 操作後 second adjugate column image coordinate1 = 4 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 same matrix=[[2, 0], [0, 2]];adjugate columns=[[2, 0], [0, 2]];verified products=[[4, 0], [0, 4]] 操作後 M*adjugate=det*I;det=4 nonzero;inverse=adjugate/det;kernel basis=[];image basis ORIGINAL columns=[[2, 0], [0, 2]] 條件：無 已逐座標核M乘兩個adjugate欄等於det倍標準基；除非零det得逆。因此Mx=0僅零解，且每個實目標有原像，兩個原欄形成像的basis；空kernel basis表示零空間，不是kernel空集合。 步驟識別與依賴規則：real_map_full_rank_inverse_both_kernel_and_image · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 real kernel source dimension minus rank := sub(2, 2) 操作後 real kernel source dimension minus rank = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 same real map rank=2;full kernel basis=[];full image basis=[[2, 0], [0, 2]] 操作後 nullity=0;image basis cardinality=2;rank plus nullity=2 條件：無 這些是已證完整實空間的basis個數，不是搜尋格點數；rank、nullity與像basis數量分開保留，同一來源維度為2。 步驟識別與依賴規則：real_map_full_space_basis_counts_not_grid_counts · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 image Cramer first diagonal target term := mul(2, 11) 操作後 image Cramer first diagonal target term = 22 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 image Cramer first off-diagonal target term := mul(0, 1) 操作後 image Cramer first off-diagonal target term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 image Cramer first numerator := sub(22, 0) 操作後 image Cramer first numerator = 22 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 image Cramer first real coordinate := div(22, 4) 操作後 image Cramer first real coordinate = 11/2 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 image Cramer second signed target term := mul(0, 11) 操作後 image Cramer second signed target term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 image Cramer second diagonal target term := mul(2, 1) 操作後 image Cramer second diagonal target term = 2 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 image Cramer second numerator := sum(0, 2) 操作後 image Cramer second numerator = 2 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 image Cramer second real coordinate := div(2, 4) 操作後 image Cramer second real coordinate = 1/2 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 image Cramer substitution row0 first term := mul(2, 11/2) 操作後 image Cramer substitution row0 first term = 11 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 image Cramer substitution row0 second term := mul(0, 1/2) 操作後 image Cramer substitution row0 second term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 image Cramer substitution image coordinate0 := sum(11, 0) 操作後 image Cramer substitution image coordinate0 = 11 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 image Cramer substitution row1 first term := mul(0, 11/2) 操作後 image Cramer substitution row1 first term = 0 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 image Cramer substitution row1 second term := mul(2, 1/2) 操作後 image Cramer substitution row1 second term = 1 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 image Cramer substitution image coordinate1 := sum(0, 1) 操作後 image Cramer substitution image coordinate1 = 1 條件：無 依同一原始角色與已核中間量精確計算，保留分母、正負號、座標與索引。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 original target=[11, 1];same invertible real matrix=[[2, 0], [0, 2]];exact solved coordinates=[11/2, 1/2] 操作後 substitution equals target;unique real preimage;integer coordinates NOT required 條件：無 用同一det的Cramer分式求解，逐座標代回原M；任何兩解之差在零kernel，所以唯一。分數座標亦是合法實原像，不能加整數條件。 步驟識別與依賴規則：image_full_rank_real_solution_substitution_and_uniqueness · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, -1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[11, 1] 操作後 exact row-dot image=[-2, -2];equals target=否 條件：無 只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。 步驟識別與依賴規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, 0];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[11, 1] 操作後 exact row-dot image=[-2, 0];equals target=否 條件：無 只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。 步驟識別與依賴規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[-1, 1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[11, 1] 操作後 exact row-dot image=[-2, 2];equals target=否 條件：無 只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。 步驟識別與依賴規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, -1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[11, 1] 操作後 exact row-dot image=[0, -2];equals target=否 條件：無 只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。 步驟識別與依賴規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, 0];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[11, 1] 操作後 exact row-dot image=[0, 0];equals target=否 條件：無 只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。 步驟識別與依賴規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S038 S040 · implies操作前 image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[0, 1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[11, 1] 操作後 exact row-dot image=[0, 2];equals target=否 條件：無 只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。 步驟識別與依賴規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, -1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[11, 1] 操作後 exact row-dot image=[2, -2];equals target=否 條件：無 只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。 步驟識別與依賴規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, 0];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[11, 1] 操作後 exact row-dot image=[2, 0];equals target=否 條件：無 只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。 步驟識別與依賴規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 image bounded search:integer point in x-outer/y-inner order=[1, 1];same matrix=[[2, 0], [0, 2]];target=[11, 1] 操作後 exact row-dot image=[2, 2];equals target=否 條件：無 只掃指定整數盒，逐點用原矩陣兩列點積核目標相等；保留x外層、y內層遞增順序，這個有限枚舉不承擔全部實向量的責任。 步驟識別與依賴規則：real_map_every_bounded_integer_point_exact_image · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 image bounded search:bound=1;complete integer box pair count=9 操作後 all hits in original scan order=[] 條件：無 上下界含端點，兩座標共有(2b+1)²組；每組已核，清單只對這個盒完整。 步驟識別與依賴規則：real_map_complete_bounded_list_not_unbounded_search · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 bounded integer preimages in original scan order=[];SEPARATE full-real membership=是;global certificate=[unique_solution, [11/2, 1/2]] 操作後 boundary=bounded_failure_not_global_nonmembership 條件：無 盒內無整數原像與存在實原像可同時成立，分數解甚至所有整數盒都找不到。若全域不屬像，也必須靠前面完整實空間證書，不能只用這次搜尋失敗。 步驟識別與依賴規則：image_bounded_failure_not_global_real_nonmembership · 依賴：G001, S044 ## 逐步反向核對 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution image coordinate1，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution row1 second term，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution row1 first term，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution image coordinate0，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution row0 second term，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer substitution row0 first term，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer second real coordinate，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer second numerator，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer second diagonal target term，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer second signed target term，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer first real coordinate，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer first numerator，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer first off-diagonal target term，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 image Cramer first diagonal target term，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real kernel source dimension minus rank，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column image coordinate1，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column row1 second term，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column row1 first term，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column image coordinate0，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column row0 second term，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 second adjugate column row0 first term，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column image coordinate1，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column row1 second term，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column row1 first term，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column image coordinate0，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column row0 second term，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 first adjugate column row0 first term，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map exact determinant，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map determinant off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 real map determinant diagonal product，不以小數近似替代。 ## 結論 ([11, 1], 1, [], 是, bounded_failure_not_global_nonmembership) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f1ae3c0ae04dd8aac64c4bb234bd251a325803103e53c008daec642bdd65417e - candidate record SHA-256: abc2aab3778fd2703b9dfced8bf8ebe85a3f39b1cae540d7db0f0affa0a4c961 - semantic review receipt SHA-256: 4a0957a15bb33fbe5f663e37a8babf46ab5a291eb5d1dfa3bf9045204cd43ec3 - question-first witness SHA-256: 22a8506bcfa34c503216083d1a8e813d61aad22dbc81589c0d41089c528a7f93 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261102-r03-linear-map-image-0081.json)