# 第 120 題：Bayes定理 [返回所在分頁 1](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261102-r06-bayes-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261102-r06-bayes-theorem-0020) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P250-0120 · q-20261014-advance-20261102-r06-bayes-theorem-0020 ## 原題與已知條件 完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-two-event-reversal；資料={"masses":[[1,27],[1,27],[1,27],[24,27]],"hypothesis":[0,1],"evidence":[0,2]}。請依 [prior,likelihood,evidence_mass,joint,posterior,boundary] 欄序回答。 - G001 — 完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-two-event-reversal；資料={"masses":[[1,27],[1,27],[1,27],[24,27]],"hypothesis":[0,1],"evidence":[0,2]}。請依 [prior,likelihood,evidence_mass,joint,posterior,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 使用同一完整有限機率分布，兩個條件事件質量都嚴格為正。 - [mko-bayes-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bayes-theorem/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 P(Ω) := sum(1/27, 1/27, 1/27, 8/9) 操作後 P(Ω) = 1 條件：無 先加總全部原子質量，確認這是一個機率分布。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · implies操作前 H=[0, 1]; E=[0, 2] 操作後 H∩E=[0] 條件：無 同時屬於兩事件的樣本點才可貢獻交集機率。 步驟識別與依賴規則：event_intersection · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 P(H) := sum(1/27, 1/27) 操作後 P(H) = 2/27 條件：無 逐點累加 H 的質量。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 P(E) := sum(1/27, 1/27) 操作後 P(E) = 2/27 條件：無 逐點累加 E 的質量，作為 posterior 的條件分母。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 P(H∩E) := sum(1/27) 操作後 P(H∩E) = 1/27 條件：無 交集只累加一次，不重複計數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 P(E|H) := div(1/27, 2/27) 操作後 P(E|H) = 1/2 條件：無 P(H)=2/27>0，所以可用交集機率除以 P(H)。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 P(E|H)·P(H) := mul(1/2, 2/27) 操作後 P(E|H)·P(H) = 1/27 條件：無 把條件機率乘回條件事件的機率，應恢復交集機率。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 P(H|E) := div(1/27, 2/27) 操作後 P(H|E) = 1/2 條件：無 反轉條件時，分母改為 P(E)=2/27>0。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 P(H|E)=1/2; P(H∩E)=P(E|H)P(H) 操作後 P(H|E)=P(E|H)P(H)/P(E)=1/2 條件：P(E)>0; P(H)>0 將已證的交集乘法式代入 posterior 定義，即得到 Bayes 公式在本題的完整代值。 步驟識別與依賴規則：bayes_substitution · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 P(H|E)·P(E) := mul(1/2, 2/27) 操作後 P(H|E)·P(E) = 1/27 條件：無 再乘回 P(E)，須回到同一交集機率。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 probability identity 操作後 no causal direction has been established 條件：無 這是同一分布內的條件機率恆等式，沒有由此證明因果方向。 步驟識別與依賴規則：probability_not_causality · 依賴：G001, S010 ## 逐步反向核對 - S011 · premise_and_result_audit — 若條件事件質量為 0，須保留未定義而不是計算 0/0。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H|E)·P(E)，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 條件機率反轉不是把兩個符號交換後保留原分母。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H|E)，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H)·P(H)，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H)，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H∩E)，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E)，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H)，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 不是把兩事件機率直接相乘；尚未給獨立性。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(Ω)，不以小數近似替代。 ## 結論 (2/27, 1/2, 2/27, 1/27, 1/2, not_causal) P(H|E)=1/2；完整答案亦保留 prior、likelihood、evidence 與 joint。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-24 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: bb24c673de2a4ec54120cfd1eba259391efe66bc351727bc1cc6028217bc0e4c - candidate record SHA-256: 214cbd97fd8676c03e0b6639e7b7b55c715cdc3f4e139f9003f8fa72e1fbe81f - semantic review receipt SHA-256: 4727d1bd957a9b7f6cadb7972ddb5ab80a31f5259dc5394c1dff2b71944ed36b - question-first witness SHA-256: 51e18649133238ac992229f6e16542a5f3af53ca73b2262ab0524508ea937dee - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261102-r06-bayes-theorem-0020.json)