# 第 478 題：Bayes定理 [返回所在分頁 3](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/3/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261102-r06-bayes-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261102-r06-bayes-theorem-0028) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P1000-0478 · q-20261014-advance-20261102-r06-bayes-theorem-0028 ## 原題與已知條件 完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-partition-posterior；資料={"masses":[[1,10],[1,10],[1,10],[7,10]],"hypotheses":[[0,1],[2,3]],"evidence":[0,2],"target_index":0}。請依 [target_index,prior,likelihood,evidence_mass,posterior,partition_certificate] 欄序回答。 - G001 — 完整有限原子law、事件與正conditioning denominator。操作=bayes-partition-posterior；資料={"masses":[[1,10],[1,10],[1,10],[7,10]],"hypotheses":[[0,1],[2,3]],"evidence":[0,2],"target_index":0}。請依 [target_index,prior,likelihood,evidence_mass,posterior,partition_certificate] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 同一完整有限機率律；假說須互斥且完備、先驗與證據質量為正，後驗＝聯合質量除以 P(E)。 - [mko-bayes-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bayes-theorem/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 P(Ω) := sum(1/10, 1/10, 1/10, 7/10) 操作後 P(Ω) = 1 條件：無 完整原子機率先加總為1。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 P(E) := sum(1/10, 1/10) 操作後 P(E) = 1/5 條件：無 只累加條件事件E中的原子。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 H_i=[[0, 1], [2, 3]] 操作後 pairwise disjoint; union=Ω 條件：無 完整partition使每個原子恰落入一個假說，分解E時不重複也不遺漏。 步驟識別與依賴規則：complete_partition · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 P(H_0) := sum(1/10, 1/10) 操作後 P(H_0) = 1/5 條件：無 算出這個假說的prior。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 P(E∩H_0) := sum(1/10) 操作後 P(E∩H_0) = 1/10 條件：無 以交集事件算共同質量。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 P(E|H_0) := div(1/10, 1/5) 操作後 P(E|H_0) = 1/2 條件：無 正prior才允許此條件商。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 P(E|H_0)P(H_0) := mul(1/2, 1/5) 操作後 P(E|H_0)P(H_0) = 1/10 條件：無 乘回prior應恢復同一joint。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 P(H_1) := sum(1/10, 7/10) 操作後 P(H_1) = 4/5 條件：無 算出這個假說的prior。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 P(E∩H_1) := sum(1/10) 操作後 P(E∩H_1) = 1/10 條件：無 以交集事件算共同質量。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 P(E|H_1) := div(1/10, 4/5) 操作後 P(E|H_1) = 1/8 條件：無 正prior才允許此條件商。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 P(E|H_1)P(H_1) := mul(1/8, 4/5) 操作後 P(E|H_1)P(H_1) = 1/10 條件：無 乘回prior應恢復同一joint。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 sum of partition joints := sum(1/10, 1/10) 操作後 sum of partition joints = 1/5 條件：無 互斥且完備的交集把E完整分解。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 partition sum=1/5; direct P(E)=1/5 操作後 equal: 是 條件：無 先用全機率確認分母，不從後驗答案反推。 步驟識別與依賴規則：total_probability · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 P(H_0|E) := div(1/10, 1/5) 操作後 P(H_0|E) = 1/2 條件：無 取指定假說的joint除以完整evidence質量。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 posterior·P(E) := mul(1/2, 1/5) 操作後 posterior·P(E) = 1/10 條件：無 反向乘回核對指定假說的joint。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 posterior·P(E)，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H_0|E)，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 同一 law 的事件、交集與條件分母必須對齊；零質量不作除法。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 sum of partition joints，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_1)P(H_1)，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_1)，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E∩H_1)，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H_1)，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_0)P(H_0)，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E|H_0)，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E∩H_0)，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(H_0)，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 同一 law 的事件、交集與條件分母必須對齊；零質量不作除法。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(E)，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(Ω)，不以小數近似替代。 ## 結論 (0, 1/5, 1/2, 1/5, 1/2, partition_pairwise_disjoint_exhaustive) 上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 47832fd774fc3d32a8d05d376e37c2064f1e1f10d8bbf4973ec16736eea3f4ba - candidate record SHA-256: 7f316cd34d7b212c0a6270f323902777ef634aa17178703c325df35456b99bef - semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772 - question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261102-r06-bayes-theorem-0028.json)