# 第 17678 題：矩陣秩 [返回所在分頁 89](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/89/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261103-r01-matrix-rank-foundations/#q-20261014-advance-20261103-r01-matrix-rank-0028) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0034-17678 · q-20261014-advance-20261103-r01-matrix-rank-0028 ## 原題與已知條件 2×2或3×3完整矩陣與精確rank-preserving消去。操作=rank-minor-lower-bound；資料={"matrix":[[1,2],[0,3]],"rows":[0],"cols":[0]}。請依 [rows,cols,minor,determinant,nonzero,lower_bound] 欄序回答。 - G001 — 2×2或3×3完整矩陣與精確rank-preserving消去。操作=rank-minor-lower-bound；資料={"matrix":[[1,2],[0,3]],"rows":[0],"cols":[0]}。請依 [rows,cols,minor,determinant,nonzero,lower_bound] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-matrix-rank](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-matrix-rank/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 rank pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 rank pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 rank pivot0 column0 normalized entry1 := div(2, 1) 操作後 rank pivot0 column0 normalized entry1 = 2 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 pivot row=0;pivot column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 2] 操作後 normalized full row=[1, 2] 條件：無 整列同除非零pivot，逐格保留精確有理值；乘回可逆，禁止浮點近似。 步驟識別與依賴規則：rank_nonzero_pivot_entire_row_scaling · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 rank pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 3) 操作後 rank pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 rank pivot1 column1 normalized entry1 := div(3, 3) 操作後 rank pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 pivot row=1;pivot column=1;nonzero pivot=3;old row=[0, 3] 操作後 normalized full row=[0, 1] 條件：無 整列同除非零pivot，逐格保留精確有理值；乘回可逆，禁止浮點近似。 步驟識別與依賴規則：rank_nonzero_pivot_entire_row_scaling · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 product := mul(2, 0) 操作後 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 product = 0 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference := sub(1, 0) 操作後 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 product := mul(2, 1) 操作後 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 product = 2 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference := sub(2, 2) 操作後 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference = 0 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 target row=0;old row=[1, 2];subtract factor=2 times pivot row=[0, 1] 操作後 new row=[1, 0];cleared pivot-column entry=0 條件：無 對每格作原值減factor倍pivot格，加回即可反轉；把此pivot欄其他列都消零才繼續。 步驟識別與依賴規則：rank_exact_all_entry_elimination_not_partial_trace · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 complete original square matrix=[[1, 2], [0, 3]];final exact RREF=[[1, 0], [0, 1]];increasing pivot columns=[0, 1] 操作後 all rows retained inclzero;rank=2;row operations invertible;row-rank equals column-rank by the finite-dimensional theorem 條件：無 完整消去保留所有列，非零pivot數給精確rank。列運算保rank；row-rank=column-rank依有限維定理，不以幾個成功樣本證一般定理，亦不宣稱實際欄空間逐點不變。 步驟識別與依賴規則：rank_full_rref_rank_preserving_certificate_not_samples · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 whole original matrix diagonal product := mul(1, 3) 操作後 whole original matrix diagonal product = 3 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 whole original matrix off-diagonal product := mul(2, 0) 操作後 whole original matrix off-diagonal product = 0 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 whole original matrix determinant difference := sub(3, 0) 操作後 whole original matrix determinant difference = 3 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 original row indices in SUPPLIED order=[0];original column indices in SUPPLIED order=[0];same whole matrix=[[1, 2], [0, 3]] 操作後 selected exact square minor=[[1]] 條件：無 行列索引只要求互異、不要求遞增；照原順序取minor，排列可能反轉det符號，不能拿semantic排序改寫原問題。 步驟識別與依賴規則：rank_selected_minor_order_not_semantic_normalization · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 selected supplied-order minor:same1x1 minor=[[1]] 操作後 determinant is its sole entry=1 條件：無 1×1行列式就是該原格，不把空minor約定或其他格的值代入。 步驟識別與依賴規則：rank_one_by_one_minor_entry · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 supplied minor size=1;exact signed determinant=1;nonzero=是 操作後 certificate from THIS minor=rank_at_least_1 條件：無 非零r階minor才給rank≥r；這個minor為零只扣住它的證書，不推出整份矩陣rank為零，也不擅改本題輸出為另有的完整RREF結論。 步驟識別與依賴規則：rank_minor_lower_bound_not_whole_rank_from_zero · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 whole original matrix determinant difference，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 whole original matrix off-diagonal product，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 whole original matrix diagonal product，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry1 product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank eliminate row0 pivot1 column1 entry0 product，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 rank pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 ## 結論 ([0], [0], [[1]], 1, 是, rank_at_least_1) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 6b2d6076a97d05dc307c57ccd9fbcc963f327a63148f2991c514e5f65f2da4bb - candidate record SHA-256: 939d8c84dfcee31cc3c62fdd8e41b6baee51baed321e4718a3773c2304a1ced7 - semantic review receipt SHA-256: f73d099ebe3ff1c69a5d96f08c75b11b9e5b05120af40cf3ef388fce3b5c5336 - question-first witness SHA-256: 22675ffb6209b4fea076032b29b96e3dc19aad4244c54493f5f65f5e5d875699 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261103-r01-matrix-rank-0028.json)