# 第 17570 題：函數列逐點收斂 [返回所在分頁 88](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/88/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261103-r02-pointwise-convergence-of-functions-foundations/#q-20261014-advance-20261103-r02-pointwise-convergence-of-functions-0070) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0034-17570 · q-20261014-advance-20261103-r02-pointwise-convergence-of-functions-0070 ## 原題與已知條件 同一有限domain上的symbolic rational function tail。操作=pointwise-finite-domain-uniform-max；資料={"limit":[19,20],"coefficients":[20,-21],"shift":2,"epsilon":[1,29]}。請依 [epsilon,pointwise_witnesses,max_N,uniform_on_finite_domain,boundary] 欄序回答。 - G001 — 同一有限domain上的symbolic rational function tail。操作=pointwise-finite-domain-uniform-max；資料={"limit":[19,20],"coefficients":[20,-21],"shift":2,"epsilon":[1,29]}。請依 [epsilon,pointwise_witnesses,max_N,uniform_on_finite_domain,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-pointwise-convergence-of-functions](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-pointwise-convergence-of-functions/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 same COMPLETE finite domain Fin(2);original aligned limits=[19, 20];signed coefficients=[20, -21];positive shift=2 操作後 declared for EVERY n>=0:f_n(x)=limit[x]+coefficient[x]/(n+shift);signed error=f_n(x)-limit[x]=coefficient[x]/(n+shift) 條件：無 完整共同有限domain與全尾公式是題目明示前提，不從樣本猜出。函數值與誤差不是機率，可帶負號或超過1；不截斷、不平移索引。 步驟識別與依賴規則：pointwise_explicit_common_domain_all_n_tail_not_probability · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 finite-domain witness point0 absolute coefficient cross product := mul(20, 29) 操作後 finite-domain witness point0 absolute coefficient cross product = 580 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 finite-domain witness point0 strict reciprocal threshold := div(580, 1) 操作後 finite-domain witness point0 strict reciprocal threshold = 580 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 finite-domain witness point0 raw strict integer cutoff := sum(580, -2, 1) 操作後 finite-domain witness point0 raw strict integer cutoff = 579 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 finite-domain witness point0:point=0;SIGNED coefficient=20;absolute coefficient=20;positive epsilon=1/29;shift=2 操作後 threshold=580;floor=580;least nonnegative strict cutoff N=579 條件：無 |c|/(N+s)|c|b/a，故floor後加1再減shift，僅與0取max。等號不夠；零係數N=0。這裡沒有機率≤1的額外guard，不改原答案索引。 步驟識別與依賴規則：pointwise_least_strict_cutoff_floor_not_probability_guard · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 finite-domain witness point0 cutoff denominator := sum(579, 2) 操作後 finite-domain witness point0 cutoff denominator = 581 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 finite-domain witness point0 absolute error at cutoff := div(20, 581) 操作後 finite-domain witness point0 absolute error at cutoff = 20/581 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 finite-domain witness point0 previous denominator := sum(578, 2) 操作後 finite-domain witness point0 previous denominator = 580 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 finite-domain witness point0 previous absolute error := div(20, 580) 操作後 finite-domain witness point0 previous absolute error = 1/29 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 finite-domain witness point0:current N=579;current error=20/581;previous error=1/29;epsilon=1/29 操作後 current strict bound holds;previous fails;all smaller indices fail by monotonicity 條件：無 前一項仍≥epsilon，分母隨n增加，故所有更小非負n亦不合嚴格界。 步驟識別與依賴規則：pointwise_minimality_previous_index_strict_threshold · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 finite-domain witness point0:declared exact tail;positive denominators increase for all n>=N=579 操作後 for EVERY later n,absolute error<=bound=20/581|c|b/a，故floor後加1再減shift，僅與0取max。等號不夠；零係數N=0。這裡沒有機率≤1的額外guard，不改原答案索引。 步驟識別與依賴規則：pointwise_least_strict_cutoff_floor_not_probability_guard · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 finite-domain witness point1 cutoff denominator := sum(608, 2) 操作後 finite-domain witness point1 cutoff denominator = 610 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 finite-domain witness point1 absolute error at cutoff := div(21, 610) 操作後 finite-domain witness point1 absolute error at cutoff = 21/610 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 finite-domain witness point1 previous denominator := sum(607, 2) 操作後 finite-domain witness point1 previous denominator = 609 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 finite-domain witness point1 previous absolute error := div(21, 609) 操作後 finite-domain witness point1 previous absolute error = 1/29 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 finite-domain witness point1:current N=608;current error=21/610;previous error=1/29;epsilon=1/29 操作後 current strict bound holds;previous fails;all smaller indices fail by monotonicity 條件：無 前一項仍≥epsilon，分母隨n增加，故所有更小非負n亦不合嚴格界。 步驟識別與依賴規則：pointwise_minimality_previous_index_strict_threshold · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 finite-domain witness point1:declared exact tail;positive denominators increase for all n>=N=608 操作後 for EVERY later n,absolute error<=bound=21/610