# 第 17707 題：無窮級數 [返回所在分頁 89](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/89/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-foundations/#q-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-0032) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0034-17707 · q-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-0032 ## 原題與已知條件 固定index convention的partial-sum sequence與exact tail。操作=series-geometric-sum；資料={"a":[7,8],"r":[1,2]}。請依 [a,r,infinite_sum,certificate] 欄序回答。 - G001 — 固定index convention的partial-sum sequence與exact tail。操作=series-geometric-sum；資料={"a":[7,8],"r":[1,2]}。請依 [a,r,infinite_sum,certificate] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-infinite-series](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 signed geometric series one minus effective ratio := sub(1, 1/2) 操作後 signed geometric series one minus effective ratio = 1/2 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 signed geometric series exact infinite candidate sum := div(7/8, 1/2) 操作後 signed geometric series exact infinite candidate sum = 7/4 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 signed geometric series:original SIGNED a=7/8;SIGNED r=1/2;absolute ratio=1/2<1;effective terms=(7/8)*(1/2)^k,k=0,1,... 操作後 candidate sum=7/4;effective denominator1-ratio=1/2 is nonzero 條件：無 先保留原a、r的符號，依本題是否求絕對值級數才換有效係數及ratio；|r|<1是這份證書域，不用有限樣本或另種零係數例外改寫題目。 步驟識別與依賴規則：series_geometric_exact_input_roles_and_absolute_ratio_domain · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 signed geometric series:for ANY N>=1,the first N terms start at k0 with leading=7/8,ratio=1/2 操作後 (1-ratio)*S_N=(7/8)*(1-(1/2)^N);S_N=(7/8)*(1-(1/2)^N)/(1/2);candidate minus S_N=(7/8)*(1/2)^N/(1/2) 條件：無 把有限和乘(1−ratio)，相鄰冪次抵消後只留首尾；這個恆等式對任意N≥1，並不是看幾個partial sums猜公式。 步驟識別與依賴規則：series_geometric_all_N_finite_cancellation_identity · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 signed geometric series:|effective ratio|=1/2<1;remainder magnitude=abs(7/8)*abs(1/2)^N/abs(1/2) 操作後 geometric power tends to0;remainder tends to0;partial sums converge to the exact candidate 條件：無 嚴格小於1的幾何冪趨零，固定有限係數與非零分母保餘項趨零，因此partial-sum sequence才有此極限。 步驟識別與依賴規則：series_geometric_remainder_limit_not_finite_prefix_inference · 依賴：G001, S004 ## 逐步反向核對 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 signed geometric series exact infinite candidate sum，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 signed geometric series one minus effective ratio，不以小數近似替代。 ## 結論 (7/8, 1/2, 7/4, absolute_ratio_below_one_symbolic_tail) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0bec2835a7e18d5e1b1b534c896b0b30ab14d8387bdcf2e6837daf284e32d285 - candidate record SHA-256: 01999a652c70f19bec4992a51f437acece7cfedec3e67efc16786537ec97e055 - semantic review receipt SHA-256: f73d099ebe3ff1c69a5d96f08c75b11b9e5b05120af40cf3ef388fce3b5c5336 - question-first witness SHA-256: 22675ffb6209b4fea076032b29b96e3dc19aad4244c54493f5f65f5e5d875699 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-0032.json)