# 第 17752 題：無窮級數 [返回所在分頁 89](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/89/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-foundations/#q-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-0052) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0034-17752 · q-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-0052 ## 原題與已知條件 固定index convention的partial-sum sequence與exact tail。操作=series-telescoping-sum；資料={"c":2,"shift":2,"n":2}。請依 [c,shift,n,partial_sum,remainder,infinite_sum,certificate] 欄序回答。 - G001 — 固定index convention的partial-sum sequence與exact tail。操作=series-telescoping-sum；資料={"c":2,"shift":2,"n":2}。請依 [c,shift,n,partial_sum,remainder,infinite_sum,certificate] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-infinite-series](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 telescoping final remainder denominator := sum(2, 2) 操作後 telescoping final remainder denominator = 4 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 telescoping first endpoint numeric value := div(2, 2) 操作後 telescoping first endpoint numeric value = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 telescoping signed remainder numeric value := div(2, 4) 操作後 telescoping signed remainder numeric value = 1/2 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 telescoping reduced partial sum := sub(1, 1/2) 操作後 telescoping reduced partial sum = 1/2 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 telescoping partial plus signed remainder := sum(1/2, 1/2) 操作後 telescoping partial plus signed remainder = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 original c=2;shift=2;n=2;terms c/(shift+k)-c/(shift+k+1),k0..n-1 操作後 ALL interior terms cancel;S_n=c/shift-c/(shift+n)=1/2;signed remainder=1/2;reverse sum=1 條件：無 每個正的中間c/(s+k)與前一項的負值互消，留下首項與最後負項；加回帶符號餘項反核端點，不把負c的餘項改成絕對值。 步驟識別與依賴規則：series_telescoping_all_interior_cancellation_and_reverse_check · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 same source formatting c=2;source remainder ratio text=2/4;source infinite-sum ratio text=2/2 操作後 computed partial sum REDUCED=1/2;remainder/infinite fields retain DIRECT UNREDUCED source text;numeric equivalents=[1/2, 1] 條件：無 來源只把計算出的partial sum約分，兩個直接ratio欄位可能仍為2/4或0/den；這是原輸出約定，保留字節並另核數值，不用數學等值當理由改原答案。 步驟識別與依賴規則：series_telescoping_source_ratio_bytes_not_silent_reduction · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 DECLARED whole telescoping tail;remainder at general n is(2)/(n+2) 操作後 signed remainder tends to0;full partial-sum limit=c/shift under the given index convention 條件：無 固定c與正shift給完整餘項公式，n趨無限時才推出極限；不是只因當前n的端點核查成功。 步驟識別與依賴規則：series_telescoping_full_remainder_limit_not_one_n · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 telescoping partial plus signed remainder，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 telescoping reduced partial sum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 telescoping signed remainder numeric value，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 telescoping first endpoint numeric value，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 telescoping final remainder denominator，不以小數近似替代。 ## 結論 (2, 2, 2, 1/2, 2/4, 2/2, exact_telescoping_remainder) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 5233ac49efd00313325f1177a2f70ce08e336dd446353a66662358beb908962d - candidate record SHA-256: 860e2dca29d1971c0994f284949d26b7c112609f8eb4fc18ae67963f12012c2b - semantic review receipt SHA-256: f73d099ebe3ff1c69a5d96f08c75b11b9e5b05120af40cf3ef388fce3b5c5336 - question-first witness SHA-256: 22675ffb6209b4fea076032b29b96e3dc19aad4244c54493f5f65f5e5d875699 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-0052.json)